Encontrando $\iint_S {z \:ds}$ para algunos $S$

Question

$$\iint_S {z \:ds}$$

En esta doble integral de arriba, $S$ es la parte de una esfera, $x^2+y^2+z^2=1$ que se encuentra por encima del cono, $z=\sqrt{x^2+y^2}$ . Cómo puedo calcular la integral doble anterior.

¿Puede alguien ayudarme a resolver esto? Tengo $\frac{\pi}{3\sqrt{2}}$ como mi respuesta. ¿Puede alguien verificar esto?

Answer 1

En realidad, este problema se hace mejor en coordenadas cilíndricas. Aquí, cuando dejamos que $x = r\cos\theta$ y $y = r\sin\theta$ podemos reescribir nuestro $z$ -límites como $z = r$ y $r^2 +z^2 = 1$ . Tenga en cuenta que cuando $z =1$ tenemos $r = 0$ y, de forma similar, cuando $z = r$ conseguimos que $r^2 + r^2 = 1$ lo que implica que $r = \frac{1}{\sqrt{2}}$ . Por lo tanto, nuestra integral se puede escribir

\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{1/\sqrt{2}} \int_r^{\sqrt{1-r^2}}rzdzdr & = & 2\pi\int_0^{1/\sqrt{2}}\frac{r}{2}(1-r^2 - r^2)dr \\ & = & \pi\int_0^{1/\sqrt{2}}r - 2r^3 dr \\ & = & \pi\left (\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4} \right )\\ & = & \pi\left (\frac{2}{8} - \frac{1}{8} \right ) \\ & = & \frac{\pi}{8}. \end{eqnarray*}