¿Cómo es " $f(x)$ es el conjunto de todos los hijos de $x$ ¿"una función"?

Question

¿Cómo es esto una función?

$f(x)$ es el conjunto de todos los hijos de $x$

En mis diapositivas dice eso:

Aunque esta f es una función, NO es una $H \to H$ porque cada persona está asociada a un conjunto de personas y no a una sola. (Esta $f$ es un $H \to P(H)$ función).

Tengo algunas preguntas

1. Pensaba que una función asocia cada elemento del dominio a exactamente un elemento del codominio, pero nunca he visto este tipo de función en la que cada elemento del dominio se asigna a un conjunto de elementos. ¿Cómo es esto una función? ¿Cómo funcionaría? Si alguien pudiera mostrarme visualmente a través de un diagrama sería fantástico

2. Algunas personas no tienen hijos, lo que significa que los elementos del dominio no estarían mapeados, así que ¿cómo podría ser esto una función?

3. ¿Cómo es el conjunto de energía de $H$ ¿va a ser el conjunto de los niños? ¿Por qué usamos los elementos del dominio para crear el codominio (ya que estamos tomando el conjunto de potencias de $H$ ...nuestro dominio)?

Gracias de antemano

Answer 1

Supongo que $H$ es el conjunto de todos los humanos. El conjunto de poder $P(H)$ es un conjunto de conjuntos es decir, un elemento de $P(H)$ es precisamente un subconjunto de $H$ . Por convención, esto incluye el conjunto vacío $\emptyset$ sin elementos, que se considera un subconjunto de $H$ .

Para responder a sus preguntas:

1. Tienes toda la razón en que un objeto mapea cada elemento del dominio a un elemento del codominio. Dado que esta función $f$ no asigna un humano a otro humano, es no una función $H\to H$ como ha observado correctamente. Sin embargo, es una función $H\to P(H)$ porque asigna cada elemento de $H$ un humano, a un elemento de $P(H)$ un conjunto de humanos.
2. Sí, algunas personas no tienen hijos, pero siguen siendo mapeados por la función $f$ . En particular, se asignan al conjunto vacío $\emptyset$ que es un elemento del codominio $P(H)$ .
3. El conjunto de energía $P(H)$ no es el conjunto de hijos en ningún sentido. Es el conjunto de todos los conjuntos de humanos . La imagen de cualquier ser humano $h\in H$ bajo la función $f$ representa el conjunto de hijos de $h$ . Esta es una diferencia importante. Además, al definir funciones se nos permite tomar cualquier conjunto como dominio y codominio. El hecho de que el codominio aquí sea el conjunto de potencia del dominio no es tan importante y no es nada especial, y no estamos usando el dominio para "crear el codominio".

Answer 2

Un ejemplo concreto puede ser revelador.

1. "Un conjunto de elemento" puede ser un elemento de algún (otro) conjunto. Consideremos el mapa $f:\{0,1,2,3,4\}\to\{\{2,3\},\emptyset\}$ con $$ f(0)=\{2,3\},\quad f(1)=\{2,3\},\quad f(2)=f(3)=f(4)=\emptyset $$

   Tenga en cuenta que el conjunto $\{0,1\}$ es un conjunto de elementos en el dominio de $f$ También se trata de un elemento del codominio.

2. Considere $f(2)$ arriba.

3. Consideremos de nuevo el ejemplo de 1.