Encontrar todos los números primos $x$ para lo cual $24x+1$ es un cuadrado perfecto

Question

Está claro que un primo se ajusta a los criterios si el resultado de $\sqrt{24x+1}$ es un número entero. Por ensayo y error, he descubierto que aparentemente los únicos primos que se ajustan a este criterio son el 2, el 5 y el 7. ¿Cómo podría demostrar que son los únicos (o, en su defecto, que $x$ debe estar por debajo de un determinado valor y los únicos primos por debajo de este valor que se ajustan a los criterios son 2, 5 y 7)?

He llegado a afirmar que para algunos enteros $a$ :

$24x + 1 = a^2$

Entonces, reorganicé esto para dar:

$ 24x = a^2 - 1\\ 24x = (a+1)(a-1) $

No sé muy bien a dónde ir desde aquí para completar la prueba de que $x$ no puede ser superior a un valor determinado. Cualquier ayuda será muy apreciada. Prefiero que me den pistas sobre el camino a seguir en lugar de soluciones completas, ya que prefiero llegar a la solución completa por mí mismo.

Answer 1

Su enfoque conduce a una solución. Como recordatorio continuo de que $x$ se supone que es primo, llamémoslo $p$ . Tenemos $$24p=(a-1)(a+1).$$ Desde $p$ divide el lado izquierdo, $p$ divide el lado derecho. Se deduce que (i) $p$ divide $a-1$ o (ii) $p$ divide $a+1$ . (No excluimos la posibilidad de que $p$ divide a ambos).

Caso (i): Supongamos que $p$ divide $a-1$ . Entonces $a-1=pk$ para algún número entero $k$ . De ello se desprende que $a+1=pk+2$ y por lo tanto $$24p=(pk)(pk+2).$$ Por cancelación, concluimos que $$24=k(pk+2).$$ Ahora el caso (i) está en principio terminado. Debemos tener $pk+2 \le 24$ Así que $pk \le 22$ . En particular, $p \le 19$ Por lo tanto, se trata de comprobar un pequeño número de posibilidades. La comprobación puede hacerse de forma eficiente, o no tan eficiente.

Caso (ii): ¡Te toca!