Encontrar lo que es span de 2 vectores linealmente independientes es

Question

He estado probando preguntas de asignación de álgebra lineal y soy incapaz de resolver esta pregunta en particular

Dejemos que $x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right), y=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3}$ sean linealmente independientes. Sea $\delta_{1}=x_{2} y_{3}-y_{2} x_{3}, \delta_{2}=x_{1} y_{3}-y_{1} x_{3}$ $\delta_{3}=x_{1} y_{2}-y_{1} x_{2} .$ Si $V$ es la extensión de $x, y$ entonces

1. $V=\left\{(u, v, w): \delta_{1} u-\delta_{2} v+\delta_{3} w=0\right\}$

2. $V=\left\{(u, v, w):-\delta_{1} u+\delta_{2} v+\delta_{3} w=0\right\}$

3. $V=\left\{(u, v, w): \delta_{1} u+\delta_{2} v-\delta_{3} w=0\right\}$

4. $V=\left\{(u, v, w): \delta_{1} u+\delta_{2} v+\delta_{3} w=0\right\}$

Conozco las definiciones de Linealmente Independiente y de Span de vectores pero no sé cómo resolver este problema debido a $\delta_{1}$ , $\delta_{2}$ , $\delta_{3}$ ya que no puedo escribir V en términos de $\delta_{i}$ y $(u, v, w)$ .

Cualquier ayuda será realmente apreciada.

Answer 1

Una pista: Obsérvese que el producto cruzado de $x$ et $y$ viene dada por $$ x \times y = (\delta_1,-\delta_2,\delta_3). $$

Answer 2

Dada, $x=(x_1,x_2,x_3), y=(y_1,y_2,y_3) \in \mathbb{R}^3 $ son linealmente independientes.

También, dado, $V$ es el tramo de esos dos vectores linealmente independientes $x,y\in \mathbb{R}^3 $

Significa claramente que cada $(u,v,w)\in V $ puede ser abarcada de forma única por los vectores linealmente independientes $x,y\in \mathbb{R}^3 $

Esto significa que para cada $(u,v,w)\in V $ , $$ \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \\ u & v & w \\ \end{vmatrix} =0 $$ $\implies u(x_2y_3-y_2x_3)-v(x_1y_3-y_1x_3)+w(x_1y_2-x_2y_1) = 0 \implies \delta_{1} u-\delta_{2} v+\delta_{3} w=0 $