Unión contablemente infinita

Question

¿Es el caso de que $(a,b) \subseteq\bigcup_{n\in \mathbb{N}} (a+\frac{1}{n}, b-\frac{1}{n})$ ?

Dado que sólo estamos indexando por enteros positivos es decir, nunca llegamos a $\infty$

Answer 1

La inclusión se mantiene (¡de hecho los conjuntos son iguales!)

Dado $x \in (a,b)$ tenemos $$x-a = d_1\\b-x = d_2$$ donde $d_1, d_2 >0$ . Por lo tanto, podemos elegir $n \in \mathbb N$ tal que $\frac 1n < \min\{d_1, d_2\}$ . Así que $$a+\frac 1n < x < b-\frac1n$$ Por lo tanto, $x \in (a+\frac 1n, b-\frac 1n) \subset \bigcup_{n \in \mathbb N}(a+\frac1n, b-\frac1n)$ .

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La cuestión aquí es que como $(a,b)$ es un intervalo abierto No importa que $\frac1n$ nunca "alcanzará $0$ " en un tiempo finito.

La respuesta está en la forma de definir el límite: decimos $x_n \to x$ si para cualquier distancia arbitraria $\epsilon > 0$ después de un tiempo finito, la secuencia $x_n$ sigue estando más cerca que $\epsilon$ de $x$ . En su caso, ya que $(a,b)$ es un intervalo abierto, cualquier $x \in (a,b)$ estará acotado lejos de $a$ et $b$ por una distancia positiva. Podemos utilizar esta distancia como nuestro $\epsilon$ en el límite y mostrar que después de algún punto, $(a+\frac 1n, b-\frac 1n)$ contendrá $x$ .

Sin embargo, si tuviéramos la intervalo cerrado $[a,b]$ entonces importaría y no tendríamos la inclusión.

Answer 2

Es cierto. Para cualquier $x\in (a,b)$ Hay un $n$ tal que $a+\frac1n < x$ y hay un $m$ tal que $b-\frac1m > x$ .

Answer 3

He aquí una prueba constructiva. Supongamos que $x \neq (a+b)/2$ satisface $a < x < b$ . Sea $C$ sea el mínimo de $|a-x|$ et $|b-x|$ . A continuación, elija un número entero positivo $N > 1/C$ . Puede demostrar que $x$ está contenida en $(a+1/N,b-1/N)$ .

Si $x = (a+b)/2$ el argumento anterior no funciona, pero es evidente que si un punto diferente de $(a+b)/2$ está contenido en un intervalo simétrico alrededor de $(a+b)/2$ entonces $(a+b)/2$ también está contenida en el intervalo.

Answer 4

Sí - para cada $x$ tal que $ a < x < b$ existe $ N \in \mathbb{N}$ tal que $ x \in (a + \frac{1}{N},b - \frac{1}{N})$ , que es la definición de la unión en el lado derecho.