Ejemplos de inducción transfinita

Question

Yo sé lo transfinito de inducción es, pero no estoy seguro de cómo es usado para demostrar algo. Puede alguien mostrar cómo transfinito de inducción se utiliza para demostrar algo? Un caso sencillo es ACEPTAR.

Answer 1

Cada ordinal infinito puede escribirse de forma única como la suma de un límite ordinal y de un número finito de ordinal.

Prueba. Si $\alpha$ es el límite, a continuación,$\alpha=\alpha+0$; si $\alpha=\beta+1$ $\beta=\delta+n$ $\alpha=\delta+n+1$ donde $\delta$ es un límite y $n+1$ es un ordinal finito como quería. En el caso de que $\alpha=0$ no es necesario porque esto es vacuously para finito de los números ordinales.

A ver de que esta suma es único, supongamos que esto es cierto para $\beta$, vamos a $\alpha=\beta+1$$\beta=\delta+n$$\alpha=\delta+(n+1)$. Si $\alpha=\delta'+k$ donde $\delta'$ es un ordinal límite, a continuación, $k>0$ porque $\alpha$ es un sucesor y por lo $\beta=\delta'+(k-1)$. Desde esta suma es único para $\beta$ tenemos $\delta=\delta'$ $k-1=n$ como quería. Por un límite ordinal esto es evidente, porque $\delta+n$ no es un ordinal límite si $n\neq 0$ $\alpha=\alpha+0=\delta+n$ implica $n=0$ $\delta=\alpha$ como quería.

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Otros, un poco más interesante, quizás, los usos pueden ser encontrados en la demostración de las afirmaciones acerca de los conjuntos de Borel. Esto se hace por inducción transfinita en el rango. Otras buenas opciones son Goodstein secuencias, y cada conjunto tiene una de von Neumann en el rango de ZF.

Answer 2

Aquí está uno que me guste. La construcción de un "conjunto de Bernstein" ... Que es un conjunto $E \subseteq \mathbb R$ tal que para cada innumerables conjunto cerrado $K$ tenemos $E \cap K \ne \varnothing$$K \setminus E \ne \varnothing$.

La colección de $\mathcal K$ de innumerables conjuntos cerrados tiene el poder de $\mathfrak c = 2^{\aleph_0}$. Índice como $\mathcal K = \{ K_\xi: \xi < \omega_{\mathfrak c}\}$ donde $\omega_{\mathfrak c}$ es el menor ordinal de potencia $\mathfrak c$. Entonces por inducción transfinita elija los puntos $u_\xi$, $v_\xi$, todos diferentes, de tal manera que $u_\xi, v_\xi \in K_\xi$. Esto es posible desde la $K_\xi$ poder $\mathfrak c$, y en cada etapa menos de $\mathfrak c$ puntos han sido elegidos previamente. A continuación, $E = \{u_\xi: \xi < \omega_{\mathfrak c}\}$ es su Bernstein conjunto. De hecho, dado cualquier $K \in \mathcal K$,$\xi$, de modo que $K = K_\xi$, y tenemos $u_\xi \in E \cap K$$v_\xi \in K \setminus E$.

Answer 3

Me voy a dar un ejemplo de una buena prueba por inducción transfinita que también utiliza la idea de cofinality. Te voy a mostrar que para cada contables ordinal, no es un subconjunto de a $\mathbb{R}$ de ese tipo de orden (cuando estamos usando la restricción de la orden usual en $\mathbb{R}$.

En primer lugar voy a arreglar $f:\mathbb{R} \to (0,1)$ un fin de preservar bijection. Vamos a ver por qué yo uso esta tarde.

Para el caso de $\alpha = 0$ el resultado es claro. Para $\alpha = \beta+1$ $S_\beta \subseteq \mathbb{R}$ con tipo de orden $\beta$. A continuación, $f(S_\beta)$ es un subconjunto de a $(0,1)$ de tipo de orden $\beta$. A continuación definimos $S_\alpha = f(S_\beta) \cup \{1\}$. Esto es que el orden deseado tipo. Para $\alpha$ límite, como $\alpha$ es contable, sabemos que no es $\langle \beta_i: i<\omega\rangle$ cofinal en $\alpha$. A continuación, para cada una de las $i$ $S_i$ a ser un conjunto con el fin de que tipo. A continuación, vamos a $S_\alpha = \bigcup\limits_{i \in \omega}i+f(S_i)$ donde $i+f(S_i)$ es la traducción de $f(S_i)$$i$. A continuación, $S_\alpha$ es de orden tipo de $\alpha$.

Answer 4

La mayoría (todos?) aplicaciones del lema de Zorn, son ejemplos de inducción transfinita, como se puede leer, por ejemplo, aquí y aquí. Por lo tanto, se puede probar que todo espacio vectorial tiene una base, que cada conmutativa anillo tiene un ideal maximal, el teorema de Tychonoff, etc... siempre con la inducción transfinita. Sin embargo, a menudo no es realmente natural.