Demuestre el siguiente proceso $X_{n}$ converge a.s

Question

Por favor, ayúdame con el siguiente ejercicio de teoría de la probabilidad.

Con $n \geq 0$ , dejemos que $X_{n}$ sea un proceso no negativo con descomposición Doob $X_{n} = M_{n} + A_{n}$ donde $M_{n}$ es la parte de la martingala y $A_n$ la parte predecible. Set $a_{k}=A_{k}-A_{k-1}$ y que $a_{k}^{+} = \max(a_{k},0)$ .

Supongamos que $E[\sum_{k \geq 1} a_{k}^{+}]< \infty$ , demuestre que $X_{n}$ converge a.s. a un límite finito.

Answer 1

Supongamos que todas las variables aleatorias están en $L^1$ es decir, absolutamente integrable. No necesitamos $(A_n)$ para ser predecible.

Utilizando $X_n\geq 0$ obtenemos $M_n^-=\max(0,A_n-X_n)\leq A_n^+\leq A_0^+ +\sum_{k\geq 1} a_k^+.$ Tomar las expectativas muestra que $\mathbb{E}(M_n^-)\leq \mathbb{E}\left(A_0^+ +\sum_{k\geq 1} a_k^+\right)<\infty.$ Desde $(M_n)$ es una martingala, tenemos
$$\mathbb{E}(|M_n|)= \mathbb{E}(M_n)+2 \mathbb{E}(M_n^-) = \mathbb{E}(M_0)+2 \mathbb{E}(M_n^-), $$ que combinado con el límite anterior, muestra que $(M_n)$ está acotado en $L^1$ . Por el teorema de convergencia de la martingala, $M_n\to M_\infty$ casi seguro. Por el Lemma de Fatou, $M_\infty$ también está en $L^1$ .

En cuanto a la $(A_n)$ proceso, para $n\geq m$ tenemos $A_n\leq A_m+\sum_{k>m} a_k^+,$ para que $$\sup_{n\geq m}\, A_n\leq A_m+\sum_{k>m} a_k^+.$$ En particular, la variable aleatoria de la izquierda es casi seguramente finita. Tomando el límite en $m$ en ambos lados, obtenemos $$\limsup_m\, A_m\leq \liminf_m\ A_m.$$

Esto demuestra que $A_m\to A_\infty$ en $[-\infty,\infty]$ . Ya sabemos que $A_m$ está casi seguramente acotada por encima, por lo que $A_\infty<\infty$ . Dejar $m\to\infty$ en $A_m=X_m-M_m\geq -M_m$ da $A_\infty\geq -M_\infty >-\infty$ , y la prueba está completa.