La función sigma (suma de divisores) prueba multiplicativa

Question

Estoy tratando de demostrar que $\sigma(p_1^a\cdot p_2^b) =\sigma(p_1^a)\cdot\sigma(p_2^b)$ donde $p_1$ et $p_2$ son números primos.
Sabemos que $\sigma(p_1^a) = \frac{p_1^{a+1}-1}{p_1-1}$ et $\sigma(p_2^b) = \frac{p_2^{b+1}-1}{p_2-1}$ .
Ahora estoy tratando de encontrar los divisores de $p_1^a\cdot p_2^b$ y añadirlos: Encontré que los divisores son

$1$ , $p_1$ , $p_1^{2},\dotsc,p_1^{a}$ , $p_2$ , $p_2^{2},\dotsc,p_2^{b}$ , $p_1\cdot p_2$ , $p_1\cdot p_2^2,\dotsc,p_1\cdot p_2^{b},\dotsc,p_1^{a}\cdot p_2,\dotsc,p_1^{a}\cdot p_2^{b}$ .

Ahora cuando hacemos su suma obtenemos $\sum_{k=0}^a$ $p_1^k$ + $\sum_{k=1}^b$ $p_2^k$ + ( $\sum_{k=1}^{a}$ $p_1^k\cdot\sum_{k=1}^b$ $p_2^k$ ), ¿es esto correcto? Si es así no puedo alcanzar $\frac{p_1^{a+1}-1}{p_1-1}\cdot\frac{p_2^{b+1}-1}{p_2-1}$ .

Answer 1

En general, si la factorización primaria de $n$ es $$n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\dotsm p_m^{a_m},$$ entonces los divisores de $n$ será de la forma $$p_1^{b_1}p_2^{b_2}\dotsm p_m^{b_m}\quad (0\leqslant b_i\leqslant a_i).$$

Ahora considere el producto $$(1+p_1+p_1^2+\dotsb+p_1^{a_1})(1+p_2+p_2^2+\dotsb+p_2^{a_2}) \dotsm(1+p_m+p_m^2+\dotsb+p_m^{a_m})$$ que al expandirse contendrá todos los divisores de $n$ en una suma de los divisores de $n$ . Como cada término entre corchetes tiene $(a_i+1)$ términos, siendo estos los valores $b_i$ puede tomar, a saber $0$ à $a_i$ , esto da el número de divisores de $n$ , $\sigma_0(n)$ , escrito alternativamente $s(n)$ por el producto

$$\sigma_0(n)=\prod_{i=1}^m(a_i+1)=(a_1+1)(a_2+1)\dotsm(a_m+1).$$ La suma de los divisores de $n$ , $\sigma(n)$ es entonces

$$ \sigma(n)=\prod_{i=1}^m(1+p_i+p_i^2+\dotsb+p_i^{a_i}) =\prod_{i=1}^m\frac{p_i^{a_i+1}-1}{p_i-1}=\prod_{i=1}^m\sigma(p_i^{a_i}). $$

Answer 2

Estás muy cerca. Sólo fíjate en que $$\sum_{k=0}^a p_1^k + \sum_{k=1}^b p_2^k + \left(\sum_{k=1}^{a} p_1^k\cdot\sum_{k=1}^b p_2^k \right) $$ es igual a $$ 1+\sum_{k=1}^a p_1^k + \sum_{k=1}^b p_2^k + \left(\sum_{k=1}^{a} p_1^k\cdot\sum_{k=1}^b p_2^k \right)=\sum_{k=0}^a p_1^k \cdot \sum_{k=0}^b p_2^k $$ que es $$ \sigma(p_1^a) \sigma(p_2^b) $$ así que has terminado.

Answer 3

$$\sigma(n) = \sum_{d \mid n} d$$

Si $\gcd(n,m) = 1$ entonces hay una biyección $(d,d') \to dd'$ entre las parejas de divisores $ d \mid n, d' \mid m$ y los divisores de $ nm$ y por lo tanto $$\sigma(n)\sigma(m) = (\sum_{d \mid n} d)(\sum_{d' \mid m} d') = \sum_{d \mid n, \ d' \mid m} dd' = \sum_{k \mid nm} k=\sigma(nm)$$