$\def\Q{\mathbf{Q}}$ $\def\Z{\mathbf{Z}}$ $\def\Br{\mathrm{Br}}$ $\def\inv{\mathrm{inv}}$ $\def\Gal{\mathrm{Gal}}$
Las preguntas que plantea son en esencia bastante sencillas, pero requieren un poco de teoría. De hecho, una vez le pedí a un estudiante de posgrado principiante que respondiera a tu pregunta como preparación para su examen de calificación. (Sugerencia: si alguna vez le dices a tu asesor "básicamente entiendo los enunciados de la teoría de campos de clases, pero realmente no sé nada sobre álgebras de división" prepárate para la respuesta "vale, tu cualificación se centrará en explicar la CFT a través de los grupos de Brauer"). Supongo que nunca volvió a este sitio web para publicar realmente una respuesta a esta pregunta, y ahora estoy aburrido, así que aquí hay una respuesta.
Voy a empezar exponiendo un montón de resultados muy estándar sin pruebas ni referencias. Cualquier texto estándar sobre la teoría del campo de clases (incluyendo las notas en línea de Milne) tendrá todos los detalles.
Lema: Si $K/\Q$ puede ser incrustado de forma centralizada en $D/\Q$ de dimensión $n^2$ entonces existe una extensión finita $L/K$ donde $L$ puede ser incrustado de forma centralizada en $D/\Q$ y $[L:\Q] = n$ .
Esta es otra forma de decir que todos los subcampos conmutativos máximos tienen grado $n$ .
Lema: $L/\Q$ de dimensión $n$ puede ser incrustado de forma centralizada en $D/\Q$ de dimensión $n^2$ si y sólo si $L$ divisiones $D$ .
Estándar.
Teorema: Hay una secuencia exacta:
$$0 \rightarrow \Br(\Q) \rightarrow \bigoplus_{p,\infty} \Br(\Q_p) \rightarrow \Q/\Z \rightarrow 0.$$
Este es un resultado clave de la teoría del campo de clase global.
Lema: $\Br(\Q_p) = \Q/\Z$ , $\Br(\mathbf{R}) = \Z/2\Z$ .
Esto se desprende de la teoría del campo de la clase local.
Lema: Dejemos que $L_v/\Q_p$ sea una extensión finita. Entonces $D_p/\Q_p$ se divide en $L_v$ si y sólo si $[L_v:\Q_p]$ aniquila la clase $D_p \in \Br(\Q_p)$ o, por el contrario $$[L_v:\Q_p] \inv(D) = 0,$$ donde $\inv_p(D) \in \Q/\Z$ o $\Z/2\Z$ dependiendo de si $p$ es finito o no.
Estándar.
Ahora, simplemente conectando los puntos, se obtiene lo siguiente:
Lema: Un campo $L/\Q$ de grado $n$ se incrusta de manera central y máxima en $D/\Q$ de dimensión $n^2$ si y sólo si, para todos los primos $p$ y para todos $v|p$ en $p$ , $$[L_v:\Q_p] \inv_p(D) = 0.$$
Hay mucha libertad a la hora de construir $D$ . Podemos hacer $\inv_p(D)$ cualquier cosa que queramos, siempre que sea cero para todos los primos excepto para los finitos $p$ tiene un orden que divide $2$ en el infinito, y satisface
$$\sum_p \inv_p(D) = 0.$$
De ahí que también deduzcamos:
Lema: Un campo $L/\Q$ de grado $n$ se incrusta de manera central y máxima en $D/\Q$ de dimensión $n^2$ si y sólo si, para todos los primos $q | n$ con $q^m \| n$ podemos encontrar dos primos distintos $p_i$ para $i = 1,2$ (uno posiblemente infinito) tal que, para cualquier primo $v|p_i$ tenemos $$q^m | [L_v:\Q_{p_i}].$$
Prueba: Desde $\sum \inv_p(D) = 0$ y $D$ tiene orden $n$ existen al menos dos (posiblemente uno es infinito si $q^m = 2$ ) primos $p_i$ tal que $\inv_p(D)$ tiene un orden divisible por $q^m$ . Esto da una dirección.
Para la inversa, tomar los invariantes como la suma del vector sobre $q^m | n$ cuya contribución es $1/q^m$ en $p_1$ y $-1/q^m$ en $p_2$ y cero en el resto. Ahora deducimos:
Reclamación: Un campo $K/\Q$ de grado $n$ se incrusta en $D/\Q$ de dimensión $N^2$ para algunos $N$ si y sólo si, para todos los primos $q | n$ con $q^m \| n$ podemos encontrar dos primos distintos $p_i$ (uno posiblemente infinito) tal que, para cualquier primo $v|p_i$ tenemos $$q^m | [L_v:\Q_{p_i}].$$
Prueba: Si existe tal incrustación, existe una incrustación máxima de un $L$ que contiene $K$ . Supongamos que $N = dn$ y que $q^M \| d$ así que $q^{m+M} \| N$ . Deducimos del lema anterior que existe un primo $p_i$ tal que $$q^{m+M} | [L_w:\Q_{p_i}] = [L_w:K_v][K_v:\Q_{p_i}]$$ para todos $v|p_i$ y todos $w|v$ . Por lo tanto, se deduce que $$q^{m+M} | \sum_{w|v} [L_w:K_v] [K_v:\Q_{p_i}] = [L:K][K_v:\Q_{p_i}] = d [K_v:\Q_{p_i}],$$ y por lo tanto $$q^m | [K_v:\Q_{p_i}],$$ según sea necesario. Para la inversa, se puede construir fácilmente una ramificación total $L/K$ que tiene $L_w = K_v$ para todos $v|p_i$ para cualquier conjunto finito de $p_i$ y luego utilizar el lema anterior.
La afirmación da básicamente una respuesta a su primera pregunta, tenga en cuenta que también se deduce que $K$ se incluye dentro de algunos $D$ si y sólo si se incluye de forma máxima para algún $D$ de dimensión $[K:\Q]^2$ . La segunda pregunta no presenta ninguna dificultad adicional.
Permítanme dar algunos ejemplos.
Ejemplo: $K/\Q$ tiene un grado primo $q$ . Sea $L$ sea el cierre de Galois de $K$ . Tenemos $G = \Gal(L/\Q) \subset S_q$ tiene un orden divisible por $q$ y, por tanto, contiene un $q$ -ciclo. Por lo tanto, según Chebotarev, hay infinitas $p_i$ tal que Frobenius en $p_i$ es un $q$ -ciclo. Esto implica que $[K_v:\Q_{p_i}] = q$ para todos $v|q$ y así $K$ incrustaciones.
Ejemplo: $K/\Q$ es Galois y cíclico. En este caso, $G = \Gal(K/\Q) = \Z/n \Z \subset S_n$ también tiene un $n$ ciclo, por lo que como en la última pregunta uno es hecho por Cebotarev, y $K$ incrustaciones.
Ejemplo: $K/\Q$ es bi-cuadrática, y $[K_v:\Q_p] \le 2$ para todos los primos ramificados. En este caso, $K$ nunca puede estar incrustado dentro de un $D/\Q$ porque no hay primos $p_i$ tal que $4 | [K_v:\Q_p]$ .
Nota: En el último ejemplo, sí se requiere la hipótesis en los primos ramificados, ya que podría ocurrir que $[K_v:\Q_p] = 4$ para dos primos que dividen $\Delta_K$ . Por lo tanto, la respuesta depende no sólo del grupo de Galois, sino también de los grupos de inercia en los primos de la mala reducción.
Ejemplo: $K = \Q(\sqrt{-1},\sqrt{17})$ no se incrusta de forma centralizada en ningún $D/\Q$ . Este es un caso especial del último ejemplo.
Ejemplo: $K = \Q(\sqrt{-1},\sqrt{3})$ se incrusta de forma centralizada en un $D/\Q$ (por ejemplo con invariantes $\inv_2(D) = 1/4$ y $\inv_3(D) = -1/4$ y $\inv_p(D) = 0$ en caso contrario). Este es un caso especial del último ejemplo, porque $[K_3:\Q_3] = 4$ y $[K_2:\Q_2] = 4$ .
Ejemplo: $K/\Q$ es totalmente ramificado en dos primos $p_1$ y $p_2$ . En este caso, $[K_v:\Q_{p_i}] = [K:\Q]$ para que podamos incrustar $K$ .
Creo que estos ejemplos son suficientes para entender el punto.
