¿Tomar fracciones parciales para la integración?

Question

Tengo algunos problemas con las integrales que implican fracciones parciales parece. He estado atascado en esto siempre. La ecuación se da a continuación y tengo que usar fracciones parciales para resolver.

dN/dt = N(1-0.0005N)

¿Puede alguien darme detalles paso a paso de cómo se haría esto? Se lo agradezco mucho, ¡gracias!

Answer 1

$$\begin{align}\int \dfrac{dN}{N(1-0.0005N)} &= \int dt \end{align}\tag{1}$$

El integrando del lado izquierdo puede descomponerse en fracciones parciales :

$$\dfrac{1}{N(1-0.0005N)} = \dfrac{A}{N} + \dfrac{B}{1-0.0005N}\tag{2}$$

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Puedes utilizar el método de encubrimiento para encontrar las constantes $A$ y $B$

Multiplicar $(2)$ por $N$ a través de y el plugin $N=0$ , se obtiene : $$\begin{align}\dfrac{1}{(1-0.0005N)} &= A + N.\dfrac{B}{1-0.0005N}\\~\\\dfrac{1}{(1-0.0005(0))} &= A + 0.\dfrac{B}{1-0.0005N}\\~\\\implies 1&= A\end{align}$$

Mira si puedes encontrar la otra constante $B$ de manera similar. Una vez que tengas las dos constantes sustituye el integrando del lado izquierdo en $(1)$ por $(2)$ y evaluar la integral

Answer 2

Tomémoslo de forma más general y supongamos que la ecuación diferencial es $$\frac{dN}{dt}=(N-a)(N-b)$$ donde $a\neq b$ . Así, podemos reescribir $$\frac{dt}{dN}=\frac{dN}{(N-a)(N-b)}$$ Ahora, utilizando la descomposición parcial de la fracción, escribe $$\frac{1}{(N-a)(N-b)}=\frac{A}{N-a}+\frac{B}{N-b}$$ Reducir todo al mismo denominador para obtener $$1=A(N-b)+B(N-a)$$ Configurar $N=a$ en la expresión conduce a $$A=\frac{1}{a-b}$$ Configurar $N=b$ en la expresión conduce a $$B=\frac{1}{b-a}$$ y finalmente $$t+C=\frac{\log (N-a)-\log (N-b)}{a-b}$$ de la cual $$N=a+(a-b)\frac{ e^{a \left(C+t\right)}}{e^{b \left(C+t\right)}-e^{a \left(C+t\right)}}$$

Answer 3

"Multiplicar" por dt y dividir por $N(1-0.0005N)$ . A continuación, escriba $\dfrac1{N(1-aN)}$ como $\dfrac xN+\dfrac y{1-aN}$ y

integrar ambas partes. Para determinar los valores de x y y , llevar la suma a un denominador común, y luego identificar los coeficientes.

Answer 4

Reescribimos la ED como $$\frac{dN}{N(1-0.0005N)}=dt$$ e integrar. Para integrar el lado izquierdo, exprese $\frac{1}{N(1-0.005N)}$ como $$\frac{A}{N}+\frac{B}{1-0.0005N},$$ donde $A$ y $B$ son constantes. Si llevamos esto a un denominador común, obtenemos $$\frac{A(1-0.0005N)+BN}{N(1-0.0005N)}.$$ Así que queremos $A(1-0.0005N)+BN$ sea idénticamente igual a $1$ . Así, $A=1$ y $B=0.0005$ . Por último, integra ambos lados. Obtenemos $$\ln(N)-\ln(1-0.0005N)=t+C.$$ Tomando la exponencial de ambos lados, obtenemos $$\frac{N}{1-0.0005N}=De^t,$$ donde $D$ es una constante. Ahora, si queremos, podemos resolver explícitamente para $N$ utilizando un poco de álgebra.