¿Qué espacios topológicos admiten una métrica no estándar?

Question

Mi pregunta es sobre el concepto de espacio métrico no estándar que surgiría de un uso de los reales no estándar R* en lugar de la métrica habitual con valores R.

Es decir, definamos que un espacio topológico X es un espacio métrico no estándar si existe una función de distancia, no en los reales R, sino en algún R* no estándar en el sentido de análisis no estándar . Es decir, debe existir una función de distancia d de X 2 en R*, tal que d(x,y)=0 si x=y, d(x,y)=d(y,x) y d(x,z) <= d(x,y)+d(y,z). Tal métrica no estándar daría lugar a las bolas abiertas no estándar, que generarían una topología de tipo métrico en X.

Existen numerosos ejemplos de estos espacios, empezando por el propio R*. De hecho, todo espacio métrico Y tiene un análogo no estándar Y*, que es un espacio métrico no estándar. Además, existen espacios métricos no estándar que no surgen como Y* para ningún espacio métrico Y. La mayoría de estos ejemplos no serán metrizables, ya que podemos suponer que R* tiene una cofinalidad incontable (todo conjunto contable está acotado), y esto suele impedir la existencia de una base local contable. Es decir, la secuencia anidada de bolas alrededor de un punto dado incluirá las bolas de radio infinitesimal de radio infinitesimal, y la intersección de cualquier número contable seguirá estando acotada lejos de 0. Por ejemplo, el propio R* no será metrizable. El espacio R* no es conexo, ya que es la unión de las vecindades infinitesimales de cada punto. De hecho, se puede demostrar que está totalmente desconectado.

Sin embargo, me parece que estos espacios métricos no estándar son tan útiles en muchos aspectos como sus homólogos estándar. Después de todo, todavía se puede razonar sobre bolas abiertas, con la desigualdad del triángulo y demás. Sólo que las distancias pueden ser no estándar. Además, los reales no estándar ofrecen algunas oportunidades para nuevas construcciones topológicas: en un espacio métrico no estándar, uno tiene la operación de parte estándar, que sería una especie de cierre abierto de un conjunto: para cualquier conjunto Y, dejemos que Y+ sea todos los puntos infinitesimalmente cercanos a un punto de Y. Esto es algo así como la como el cierre de Y, ¡excepto que Y+ es abierto! Pero tenemos que Y es subconjunto de Y+, e Y++=Y+, y + respeta las uniones, etc.

En la topología clásica, tenemos varios teoremas de metrización como el teorema de Urysohn de que cualquier espacio regular de Hausdorff de segundo conteo es metrizable.

Pregunta. ¿Qué espacios topológicos admiten una métrica no estándar? ¿Admite alguno de los teoremas clásicos de metrización un análogo para la metrizabilidad no estándar? ¿Cómo podemos saber si un espacio topológico dado admite una métrica no estándar?

También me gustaría conocer otros aspectos interesantes de la metrizabilidad no estándar, o conocer aplicaciones interesantes.

Tengo muchas preguntas relacionadas, como cuándo un espacio métrico no estándar es realmente metrizable. ¿Existe alguna versión de R* que sea metrizable? (por ejemplo, dejando de lado la hipótesis de cofinalidad incontable)

Answer 1

La uniformidad definida por una métrica valorada en *R es de un tipo especial.

Dejemos que $(n_i)_{i<\kappa}$ sea una secuencia cofinal de elementos positivos en *R. Podemos suponer que $i < j$ implica que $n_i/n_j$ es infinitesimal.

Dado un espacio métrico valorado en *R $(X,d)$ podemos definir una familia $(d_i)_{i<\kappa}$ de la pseudometría por $d_i(x,y) = st(b(n_id(x,y)))$ , donde $st$ es la función de la parte estándar y $b(z) = z/(1+z)$ para que la métrica esté limitada por $1$ . La topología en $X$ está definida por la familia de pseudométricos $(d_i)_{i<\kappa}$ . Obsérvese que estas pseudometrías tienen la siguiente propiedad especial:

(+) Si $i < j < \kappa$ y $d_j(x,y) < 1$ entonces $d_i(x,y) = 0$ .

Todo espacio uniforme puede ser definido por una familia de pseudométricos, pero es bastante inusual que la familia tenga la propiedad (+) cuando $\kappa > \omega$ .

Por otro lado, dada una familia de pseudométricos $(d_i)_{i<\kappa}$ limitado por $1$ con la propiedad (+), entonces podemos recuperar una métrica valorada en *R definiendo $d(x,y) = d_i(x,y)/n_i$ , donde $i$ es mínima, tal que $d_i(x,y) > 0$ .

Answer 2

Estos son $\omega_\mu$ -espacios metrizables, donde $\omega_\mu$ es la cofinalidad de ${}^*\mathbb{R}$ . Tome una secuencia decreciente $\langle x_\alpha:\alpha<\omega_\mu\rangle$ de elementos positivos que convergen a $0$ porque $\omega_\mu$ es regular incontable se puede asegurar que $x_{\alpha+1}/x_\alpha$ es siempre infinitesimal. Cualquier "métrica $d:X\times X\to{}^*\mathbb{R}$ se puede convertir en un ultramétrico $\rho$ con valores en $\{x_\alpha:\alpha<\omega_\mu\}$ ; satisface la desigualdad del triángulo fuerte: $\rho(x,z)\le\max\{\rho(x,y),\rho(y,z)\}$ . Estos espacios también se denominan linealmente uniformizables: los conjuntos $A_\alpha=\lbrace (x,y):\rho(x,y) < x_\alpha \rbrace$ forman una base (linealmente ordenada) para una uniformidad que genera la misma topología que $\rho$ . Además, debido a la cofinalidad incontable, estos espacios son $P$ -espacios: $G_\delta$ -sets están abiertos. Los únicos espacios metrizables de este tipo deben ser discretos. Aquí es uno de los primeros trabajos que conozco en tratar este tipo de cosas de forma sistemática.

Answer 3

No sé si esto es relevante para su pregunta, pero algunos topólogos han investigado bastante espacios topológicos con métrica en un grupo ordenado en celosía, es decir, un grupo con un orden reticular, compatible con la operación de grupo. Tus espacios métricos R* parecen ser un capítulo de esta teoría general (y de forma similar la teoría de espacios con métricas en ON, que quizás también te interesen), así que quizás algunas preguntas que has tocado en tu post puedan ser respondidas desde una perspectiva más amplia.

He aquí un interesante artículo de varios autores, uno de los cuales es Ralph Kopperman:

http://www.wku.edu/~tom.richmond/Papers/l-Groups.pdf

PS Kopperman tiene dos características deseables desde el punto de vista de su geolocalización, la primera es trabajar en la zona de NYC (CCNY si no me equivoco), y la segunda es ser amigo y colaborador de Prabhud Misra (y por tanto, vía la ley del pequeño mundo, muy localizable). Si recuerdo bien, Ralph es un experto en este tipo de cosas, por lo que puedes pedirle más información, si es necesario.

Answer 4

Una vez consideré la siguiente situación: $[0;1]^X$ es metrizable (con valores en $\mathbb{R}$ ), si $X$ es contable. Así que me pregunté si $[0;1]^\mathbb{R}$ es no estándar-metrizable para algún campo totalmente ordenado $F$ .

Sin embargo resulta que no admite una base local totalmente ordenada, por lo que no puede ser no estándar-metrizable. Podría dar más detalles, si alguien está interesado en ellos.