¿Puedes decirme si he hecho bien los siguientes deberes? Se aceptan las críticas.
a) Recordemos que $$ c_0 (\mathbb{N}) = \{ f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C} \mid \lim_{n \rightarrow \infty } f(n) = 0\} \subset l^\infty ( \mathbb{N}) $$ es un espacio de Banach con respecto a la norma de supremacía $\| . \|_\infty $ . Demostrar que $(c_0(\mathbb{N}))^\ast \cong l^1(\mathbb{N})$ donde el emparejamiento dual viene dado por $$ \langle f, g \rangle = \sum_{n = 0}^\infty f(n) g(n)$$ para $f \in c_0(\mathbb{N})$ y $g \in l^1(\mathbb{N})$ .
b) Demuestre que $(l^1(\mathbb{N}))^\ast \cong l^\infty(\mathbb{N})$
c) Calcule el dual de $c(\mathbb{N}) = \{ f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C} | \lim_{n \rightarrow \infty} f(n) $ existe $\}$
d) Demuestre que $l^1$ no es reflexivo demostrando que un límite de Banach no proviene de un emparejamiento como el anterior con un elemento de $l^1$
Mis respuestas:
a) Queremos demostrar que $\varphi : l^1(\mathbb{N}) \rightarrow (c_0 (\mathbb{N}))^\ast$ definido por $g \mapsto \langle ., g\rangle$ es un isomorfismo. En primer lugar, creo que tenemos que verificar que se mapea en $(c_0 (\mathbb{N}))^\ast$ . Así que dejemos $f \in c_0(\mathbb{N})$ . Entonces $$ | \langle f,g \rangle | = \Big | \sum_{n=0}^\infty f(n) g(n) \Big | \leq \sum_{n=0}^\infty |f(n)| |g(n)| \leq \| f \|_\infty \sum_{n=0}^\infty | g(n)| < \infty$$
A continuación tenemos que comprobar que es un homomorfismo de espacio vectorial, es decir, que es lineal. Para ello, dejemos que $\alpha \in \mathbb{C}, g \in l^1(\mathbb{N})$ y $f_1 , f_2 \in c_0(\mathbb{N})$ . Entonces $$ \langle \alpha (f_1 + f_2), g \rangle = \sum_{n=0}^\infty \alpha (f_1 + f_2)(n) g(n) = \alpha \sum_{n=0}^\infty f_1(n)g(n) + \alpha \sum_{n=0}^\infty f_2(n)g(n) = \alpha \langle f_1 , g \rangle + \alpha \langle f_2 , g \rangle$$
A continuación tenemos que demostrar que $\varphi$ es inyectiva. Para ello dejemos que $g \in l^1(\mathbb{N})$ tal que $\langle f,g \rangle = 0$ para todos $f$ en $c_0(\mathbb{N})$ . Entonces, en particular, $\langle f_N,g \rangle = 0$ para $$ f_N (n) := \begin{cases} 1 & n = N \\ 0 & otherwise \end{cases}$$ Así que $g(n) = 0$ para todos $n$ y así $\ker \varphi = \{ 0 \}$ .
Lo último que hay que verificar es que $\varphi$ es suryente. Consideremos cualquier $\lambda \in c_0(\mathbb{N})^\ast$ . Para el siguiente paso $\mathbb{N}$ debe ser localmente compacto y Hausdorff. Este sería el caso si $\mathbb{N}$ tenía la topología discreta pero la topología no se especifica en la tarea por lo que no estoy tan seguro de lo siguiente:
Por Riesz-Markov existe una única medida de Borel regular compleja contablemente aditiva $\mu$ en $\mathbb{N}$ tal que $\varphi(f) = \int_X f(x) d \mu$ . Establecer $g(n) := \mu(n)$ entonces $\varphi(f) = \int_X f(x) d \mu = \sum_{n=0}^\infty f(n) g(n)$ . $g(n) \in l^1$ porque $\mu$ es regular y por lo tanto tiene medida finita en cada conjunto compacto, en particular $\{ n \}$ .
b) Aquí tenemos que verificar que $\varphi^\prime: g \mapsto \langle ., g \rangle$ es un isomorfismo donde $g \in l^\infty(\mathbb{N})$ . Con los mismos argumentos que en a) demostré que se mapea en $(l^1 (\mathbb{N}))^\ast$ que es un homomorfismo y que es inyectivo. Para verificar que es sobreyectiva, considere cualquier $\lambda : l^1(\mathbb{N}) \rightarrow \mathbb{C}$ . Entonces $\lambda$ se puede dividir en funciones reales positivas de la siguiente manera: $\lambda = \Re (\lambda) + i \Im(\lambda) = \Re (\lambda)^+ - \Re (\lambda)^- + i \Im(\lambda)^+ - i \Im(\lambda)^-$ . Entonces, para cada parte por separado, existe una única medida regular por el mismo argumento que en a), por lo que $\varphi^\prime$ es suryente.
c) Para calcular $(c(\mathbb{N}))^\ast$ considerar un $s \in c(\mathbb{N})$ . Entonces $\lim_{n \rightarrow \infty} s_n = k$ para algunos $k \in \mathbb{C}$ y $\lim_{n \rightarrow \infty}(s_n - k) = 0$ así que $(s_n - k)$ es un elemento de $c_0(\mathbb{N})$ . Ahora no estoy seguro de mi siguiente paso. Sospecho que si $V, V^\prime$ son espacios vectoriales isomorfos entonces sus duales $V^\ast$ y $(V^\prime)^\ast$ son isomorfas. Así que construí una función lineal biyectiva a partir de $c(\mathbb{N})$ en $c_0(\mathbb{N}) \times \mathbb{C}$ de la siguiente manera: $s_n \mapsto (s_n - k, k)$ y verificado que es biyectiva y lineal.
d) Demostrar que $l^1$ no es reflexivo he utilizado el teorema de Kakutani que dice que $l^1$ es reflexivo si y sólo si la bola unitaria cerrada es débilmente compacta. Para encontrar una cubierta abierta de la bola unitaria que no contenga una subcubierta finita escoge $B_1 (f) $ la bola de radio $1$ alrededor de $f$ para todos $f$ con $\| f \| = 1$ . Entonces, dos de tales $f$ tienen distancia $2$ y por lo tanto no $f$ está en cualquier $B_1 (f^\prime) $ para cualquier $f^\prime$ con $\| f^\prime \| = 1$ . Hay un número infinito de $f$ 's con $\| f \| = 1$ por lo que cualquier colección finita de bolas $B_1 (f) $ dejar un número infinito de $f$ al descubierto. Así que $l^1$ no es reflexivo.
Gracias por su ayuda.
