Hace $\{nz^n\}_{n\in\mathbb N}$ convergen uniformemente en el disco unitario abierto de $\mathbb{C}$ ?

Question

Dejemos que $E$ sea el disco unitario abierto alrededor del origen en $\mathbb{C}$ . Consideremos la secuencia de funciones $\{nz^n\}_{n\in\mathbb N}$ en $E$ .

Estoy tratando de mostrar que $\{nz^n\}_{n\in\mathbb N}$ converge puntualmente en $E$ y luego investigar si esta convergencia es uniforme o no.

Intentar demostrar que $\{nz^n\}_{n\in\mathbb N}$ converge para cada $z$ en $E$ :

1. Dejemos que $z \in E$ para que $|z| < 1$ .

2. Afirmo que $nz^n \rightarrow 0$ bajo tal restricción.

3. Dejemos que $\varepsilon > 0$ .

4. Considera que

   $$ |nz^n - 0| = |nz^n| = n|z^n| = n |z|^n $$

   Ahora bien, como $0 \le |z| < 1$ tenemos por análisis real que $|z|^n \rightarrow 0$ . También tenemos del análisis/cálculo real que la secuencia real $|z|^n$ tiende más rápido a $0$ que $n$ tiende a $\infty$ en el sentido de que $n |z|^n \rightarrow 0$ . (De manera equivalente, si en lugar de ello $|z| > 1$ tenemos que $\frac{n}{|z|^n} \rightarrow 0$ ).

5. Del último paso se deduce que, para un tamaño suficientemente grande $n$ -- podemos hacer que $|nz^n - 0| < \varepsilon$ para que $nz^n \rightarrow 0$ como se desee.

¿Existe una manera fácil de ver la afirmación que hago en (4) sin que sea un juego de manos? Además, ¿esta secuencia de funciones en $E$ convergen uniformemente y, si es así, ¿por qué?

Answer 1

La secuencia de funciones $$f_n(z)=nz^n, \,\,\,n\in\mathbb N, $$ ¿conviene ΝΟΤ uniformemente a $0$ en el disco de la unidad abierta $D$ como $$ f_n(z_n)=1, \quad\text{for}\,\,\, z_n=n^{-1/n}\in D, $$ aún peor $$ f_n(z_n)=\frac{n}{2}, \quad\text{for}\,\,\, z_n=2^{-1/n}\in D. $$ De hecho $$ \sup_{z\in D}\lvert\, f_n(z)\rvert=n, $$ y por lo tanto $f_n$ NO converge uniformemente en el disco unitario abierto. Nótese que si $f_n:X\to\mathbb C$ converge uniformemente a $f$ , entonces para cada $x_n\to x$ entonces $f_n(x_n)\to f(x)$ .

Por otro lado $f_n(z)=nz^n$ convergen uniformemente a $0$ en cualquier disco abierto $D_r$ , $r<1$ , ya que $$ \sup_{z\in D_r}\lvert f_n(z)\rvert=nr^r\to 0, $$ como $n\to \infty$ . Esto puede demostrarse utilizando, por ejemplo, la prueba de proporción para las secuencias.

Answer 2

Para el 4., puedes utilizar lo siguiente:

Lema. Si $\delta>0$ entonces $\frac{(1+\delta)^n}{n}\rightarrow\infty$ o, de forma equivalente, $n(1+\delta)^{-1}\rightarrow 0$ .

Prueba. Dejemos que $n\geq 2$ . Por el Teorema del Binomio, $$\frac{(1+\delta)^n}{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\delta^n\geq\frac{1}{n}\binom{n}{2}\delta^2=\frac{n-1}{2}\delta^2\rightarrow\infty.\mathbf{QED}$$

Para ver que $nz^n$ no converge uniformemente en $E$ , podría simplemente notar que $nE^n\supseteq E$ por cada $n$ . Voy a explicar esto más adelante:

Por contradicción, supongamos que $nz^n$ converge uniformemente en $E$ . Como el límite uniforme (si existe) es igual al límite puntual, tendríamos $nz^n\rightarrow 0$ uniformemente en $E$ . Sea $\varepsilon$ sea cualquier número $0<\varepsilon<1$ . Entonces, para cualquier $n\in\mathbb{N}$ , $\varepsilon^{1/n}\in E$ pero $|n(\varepsilon^{1/n})^n-0|\geq \varepsilon$ y eso contradice la convergencia uniforme (tuvimos que demostrarlo para algunos $\varepsilon$ pero esto es válido para cualquier $\varepsilon$ que obviamente es más fuerte).

Por lo tanto, $nz^n$ no converge uniformemente en $E$ .