Del ejemplo $D_4$ , $Q$ vemos que la tabla de caracteres de un grupo no determina el grupo hasta el isomorfismo. Por otro lado, la dualidad de Tannaka dice que un grupo $G$ está determinada por su anillo de representación $R(G)$ .
¿Cuál es la información adicional contenida en $R(G)$ frente a la tabla de caracteres?
Tal vez valga la pena explicar por qué no hay que esperar $R(G)$ para decir todo sobre un grupo. $R(G)$ es naturalmente isomorfo al anillo de funciones de clase $G \to \mathbb{C}$ (las funciones constantes en las clases de conjugación) bajo adición y multiplicación puntual, y como tal la información que contiene es precisamente el conjunto de tamaños de cada el número de clases de conjugación de $G$ . Eso es todo. No hay más información. (Tenga en cuenta que $D_4$ y $Q$ ambos tienen clases de conjugación de tamaños $1, 1, 2, 2, 2$ cinco clases de conjugación).
En otras palabras, la estructura abstracta del anillo de representación en realidad le da menos información que la tabla de caracteres; la tabla de caracteres al menos te da una base distinguida de $R(G)$ . Sin esta base, $R(G)$ ni siquiera puede decirte cómo son los productos tensoriales de las representaciones.
Eick y J. Mu "ller hacen referencia a una tesis de la RWTH Aachen de Helena Skrzipczyk [1992]. J. ALg 304 (2006) sobre los pares de Brauer. Da varios ejemplos de grupos no isomorfos con biyecciones entre las tablas de caracteres y los mapas de potencia. Son los pares de Brauer de orden más pequeño de menor orden, suponiendo que son grupos p.
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