Del ejemplo $D_4$ , $Q$ vemos que la tabla de caracteres de un grupo no determina el grupo hasta el isomorfismo. Por otro lado, la dualidad de Tannaka dice que un grupo $G$ está determinada por su anillo de representación $R(G)$ .
¿Cuál es la información adicional contenida en $R(G)$ frente a la tabla de caracteres?
Permíteme que intente dar una explicación lo más baja posible, en caso de que te asuste todo esto de la "categoría monoidal".
Una representación compleja de un grupo finito $G$ es sólo un módulo para el anillo de grupo $R=\mathbf{C}[G]$ . Los dos grupos que mencionas con la misma tabla de caracteres tienen también anillos de grupo isomorfos (por algún teorema de estructura abstracta para los simples $R$ -), por lo que, si se fija un isomorfismo entre los anillos del grupo, se tiene una forma de pasar de una representación de uno a una representación del otro. Llamemos a esta forma de moverse entre representaciones de los grupos "el truco". La teoría de la representación de ambos grupos es muy parecida porque podemos utilizar el truco.
Sin embargo, la forma de detectar la diferencia en la teoría de la representación de los dos grupos es utilizar el producto tensorial. Si $M$ y $N$ son representaciones de $G$ , entonces se puede dar $M\otimes_\mathbf{C} N$ la estructura de una representación de $G$ pero esta construcción debe utilizar "algo más que lo abstracto $R$ -estructura de módulo de $M$ y $N$ ". Lo que quiero decir con esto es lo siguiente: si $R$ es un aleatorio no conmutativo $\mathbf{C}$ -y el álgebra $M$ y $N$ son dos $R$ -no hay una forma natural (que yo conozca) de dar $M\otimes_\mathbf{C}N$ un $R$ -estructura de módulo. La forma en que esto funciona con $R=\mathbf{C}[G]$ es que dejes que $\mathbf{C}$ actúe de forma obvia (es decir, sobre uno de los factores) y deje que $G$ actúan en diagonal (es decir, sobre los dos factores a la vez). Se trata de una gran asimetría y utilizamos el hecho de que $R=\mathbf{C}[G]$ (es decir, que $G$ da una base de $R$ ) y no sólo su estructura anular abstracta.
Como los grupos que mencionas tienen las mismas tablas de caracteres, es cierto que si $M$ y $N$ son módulos para uno, entonces usando el truco son módulos para el otro. Pero lo más sorprendente es esto: ¡el truco conmuta con productos tensoriales! (al menos hasta el isomorfismo). Porque el carácter del producto tensorial es el producto de los caracteres. Así que aplicando el truco a $M\otimes N$ da un módulo que resulta ser isomorfo al producto tensorial de los trucos aplicados a $M$ y $N$ . Así que ahora la teoría de la representación de los grupos está buscando realmente cerrar.
Pero el truco no es canónico, sino que implica una elección aleatoria de isomorfismo entre los dos anillos de representación, por lo que cuando se empieza a dibujar realmente racimos de isomorfismos naturales que se supone que satisfacen las categorías tannakianas, éstas no comience con el truco, porque el comentario "(por lo menos hasta el isomorfismo)" vuelve a la carga. Esto es lo que yo entiendo del punto explícito donde se entierra la sutileza. Debo decir sin embargo que todo esto lo deduje yo mismo una vez y puedo estar equivocado. Si me equivoco, no dudo de que en breve se me corregirá.
Podría valer la pena complementar la respuesta de Kevin Buzzard describiendo exactamente lo que falla en el caso de $Q$ y $D_4$ . Sea $V$ y $W$ sean las representaciones irreducibles bidimensionales de $Q$ y $D_4$ respectivamente.
La representación $V \otimes V$ es isomorfo a $1 \oplus \chi_1 \oplus \chi_2 \oplus \chi_3$ , donde el $\chi_i$ son los caracteres no triviales (unidimensionales) de $Q$ . De la misma manera, $W \otimes W$ es isomorfo a $1 \oplus \eta_1 \oplus \eta_2 \oplus \eta_3$ donde el $\eta_i$ son los caracteres no triviales (unidimensionales) de $D_4$ . La razón por la que estas fórmulas son iguales es que los anillos de representación de $Q$ y $D_4$ son isomorfas.
Sin embargo, no podemos construir este isomorfismo a partir de mapas de espacios vectoriales que conmuten con el producto tensorial. En concreto, no podemos encontrar un isomorfismo $\alpha : V \to W$ de espacios vectoriales para que el mapa inducido $\alpha \otimes \alpha : V \otimes V \to W \otimes W$ lleva $1$ a $1$ y $\chi_i$ a $\eta_i$ . (Por supuesto, no te he dicho cómo etiquetar el $\chi_i$ y $\eta_i$ . Mi afirmación es que no hay ninguna opción de etiquetado para la que se pueda hacer esto).
Esto es muy fácil de ver. El mapa $\alpha \otimes \alpha$ llevará los elementos antisimétricos de $V \otimes V$ a los elementos antisimétricos de $W \otimes W$ . Pero $\wedge^2 V$ es la representación trivial, y $\wedge^2 W$ ¡no lo es! Así que los isomorfismos de la forma $\alpha \otimes \alpha$ no puede llevar $1$ a $1$ .
Si no me equivoco, la información extra no está contenida en el anillo de representación, hay que mirar la categoría de representaciones. En particular, hay que mirar la categoría de representaciones equipada con su functor de olvido a espacios vectoriales. Entonces se puede recuperar el grupo como los automorfismos de este functor. Aquí hay un blogpost que escribí que puede ser útil: http://concretenonsense.wordpress.com/2009/05/16/tannaka%E2%80%93krein-duality/
En relación con una pregunta que surgió en los comentarios a otra respuesta: La estructura del anillo lambda está en $RG$ no es suficiente para reconstruir el grupo. Dade ha dado ejemplos (revisión de MathSciNet aquí ; papel aquí ) de pares de grupos que tienen la misma tabla de caracteres con los mismos mapas de potencia, y de esto se deduce que toda la estructura del anillo lambda es la misma.
Editar: De alguna manera, he interpretado mal la pregunta. Hablé del álgebra de grupo $\mathbb C[G]$ que no es en absoluto lo mismo que el anillo de caracteres $R(G)$ . En $\mathbb C$ (o cualquier otro campo de característica 0), $R(G)$ es naturalmente una subálgebra de $(\mathbb C[G])^*$ que es el álgebra de las funciones sobre $G$ con la multiplicación puntual, y ahora la comulgación codifica la estructura del grupo. Por otro lado, no es una subbialgebra: el coproducto de una función de clase no es una función de clase.
De todos modos, el post original a continuación, con las cosas obviamente erróneas tachadas. Así que es realmente una respuesta a Kevin, más que otra cosa.
Bueno, depende de lo que se entienda por " $R(G)$ ". No abordaré la dualidad TK, y la mayor parte de lo que diré es esencialmente un seguimiento de la respuesta de Kevin, más que una respuesta en sí misma. Además, sólo voy a tratar los grupos finitos y sus representaciones de dimensión finita. Además, para mí la palabra "anillo" significa (asociativo, unital, no conmutativo) " $\mathbb C$ -álgebra".
Recordemos que una representación compleja de $G$ es lo mismo que una representación algebraica de $\mathbb C[G]$ . Dejemos que $R$ sea un anillo. Como dice Kevin, en general es imposible definir un $R$ -estructura de módulo en $M\otimes N$ cuando $M,N$ son $R$ -módulos. (Cuando $R$ es abeliano, que no es el caso aquí, se puede definir un producto tensorial $M \otimes_R N$ pero eso no es el producto tensorial de las representaciones). ¿Qué requeriría un producto tensorial de módulos? Requeriría una regla que asigne a cada $r\in R$ y cada par $M,N$ de $R$ -un endomorfismo de $M\otimes N$ Por supuesto, debemos imponer todo tipo de axiomas que obliguen al producto tensorial a comportarse bien. Entre otras cosas, es mucho más fácil si el endomorfismo es un elemento del producto tensorial $\text{End}(M) \otimes \text{End}(N) \subseteq \text{End}(M\otimes N)$ . Y ya tenemos algunos elementos distinguidos de $\text{End}(M)$ y $\text{End}(N)$ , es decir, la acción de $R$ .
Así que una forma de intentar construir un producto tensorial bien comportado en la categoría de $R$ -módulos es encontrar un buen mapa $\Delta: R \to R\otimes R$ . Entonces los axiomas para este mapa que aseguran que el producto tensorial es bueno son que $\Delta$ sea un homomorfismo de álgebra, y que sea "coasociable": $(\text{id}\otimes \Delta)\circ \Delta = (\Delta \otimes \text{id})\circ \Delta)$ . Supongamos que también hay una representación "trivial" distinguida $\epsilon: R \to \text{End}(\mathbb C) = \mathbb C$ si esto es la unidad monoidal, entonces necesitaríamos $(\text{id}\otimes \epsilon) \circ \Delta = \text{id} = (\epsilon \otimes \text{id})\circ \Delta$ . Los mapas $\Delta, \epsilon$ que satisfacen estos axiomas definen en $R$ la estructura de un bialgebra .
Por cierto, el mapa se llama " $\Delta$ " porque si $G$ es un grupo (o monoide) y $R = \mathbb C[G]$ , entonces el mapa $R \to R\otimes R$ dado sobre la base de $G$ por el mapa diagonal $\Delta: g \mapsto g\otimes g$ es una estructura de este tipo.
Entonces, aquí hay un hecho genial. Definir un elemento $r\in R$ para ser grupo como si $\Delta(r) = r\otimes r$ . Entonces los elementos del grupo son un submonoide multiplicativo de $R$ . Y cuando $R = C[G]$ los elementos del grupo son precisamente $G$ .
Así que mi respuesta a su pregunta es que "la información adicional contenida en $R(G)$ frente a la tabla de caracteres" es su estructura bialgebraica.
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