Los subgrupos finitos de SU(n)

Question

Esta pregunta se inspira en la reciente pregunta "Los subgrupos finitos de SL(2,C)" . Mientras leía las respuestas allí recordé haber leído una vez que la identificación de los subgrupos finitos de SU(3) es todavía un problema abierto. He intentado comprobarlo y parece que al menos seguía abierto en los años ochenta.

¿Alguien puede confirmar o negar que los subgrupos finitos de SU(3) no son todos conocidos? Y si esto es cierto, ¿cuál es el origen de la dificultad?

En segundo lugar, ¿qué se sabe de los subgrupos finitos de SU(n) para n > 3?

ACTUALIZACIÓN: ¡Gracias a los de abajo que han corregido mi ignorancia! Parece que me he dejado engañar por algunos resúmenes especialmente sensacionalistas (o quizás sólo los he entendido mal).

Answer 1

Comprueba http://arxiv.org/abs/1006.1479

Ha utilizado el GAP para enumerar los grupos con representaciones 3D irreducibles fieles.... De esta manera, se pierde algunos subgrupos de SU(2).... así como grupos abelianos... que podrían tener una representación 3D fiel reducible....

Answer 2

Por favor, vea http://prd.aps.org/epaps/PRD/v84/i1/e013011/listof100smallgroups.pdf

Hemos clasificado todos los grupos de orden inferior a 100 en subgrupos de U(2), SU(2), U(2)XU(1), SU(2)xU(1), U(3) y SU(3)...

Answer 3

Sólo quiero señalar que un algoritmo para responder,

dado $n$ y una presentación de un grupo finito $G$ , ya sea $G$ es isomorfo a un subgrupo finito de $SU(n)$ ,

existe como consecuencia de Teorema de Tarski sobre la decidibilidad del campo real $(\mathbb R,+,\times)$ ¡!

Es decir, la afirmación de que ciertas matrices $A_1,\dots,A_k$ existen que satisfacen las ecuaciones correspondientes bajo la multiplicación de matrices puede escribirse como un enunciado en la teoría de primer orden de campos algebraicamente cerrados de característica cero, es decir, la teoría de $\mathbb C$ . Esto se reduce a $\mathbb R$ como se ha señalado por Joel en otro lugar de MO .

Cuánto más rápido es el algoritmo de Zassenhaus mencionado por José es, no sé...