Coeficiente binomial divisor de primos en el que interviene la potencia de un primo

Question

Me preguntaba si había una prueba directa del siguiente hecho (que puedo demostrar que es cierto para casos específicos, pero no en general):

Dejemos que $n$ sea compuesto, y que $p$ sea un factor primo $n$ . Supongamos que $p^k$ es la mayor potencia de $p$ que divide $n$ . Entonces es cierto lo siguiente: $\binom{n}{p^k} \ne 0 \pmod p$ .

Mi enfoque fue ver que $\binom{n}{p^k} = \frac{n(n-1)\ldots (n - p^k + 1)}{(p^k)!}$ . Sin embargo, ¿cómo puedo demostrar que $p$ no divide esta cantidad? No parece obvio cómo argumentar que $p$ ocurre el mismo número de veces en el numerador que en el denominador.

**Actualización: ** Estoy buscando una prueba elemental "desde cero" que no se base en el Lemma de Lucas o en algo que dependa demasiado de la teoría de campos. Preferiblemente un argumento que salga del análisis del coeficiente binomial. Gracias.

Answer 1

Tenemos $${{pm}\choose{pk}}={{m}\choose{k}}\prod_{j=1}^{p-1}\prod_{i=1}^{k}\frac{p(m-k+i)-j}{pi-j},$$ donde todas las fracciones del último producto tienen numeradores y denominadores coprimos a $p$ .