Una identidad que involucra números catalanes y coeficientes binomiales.

Question

Me encontré con la siguiente identidad $$\sum_{k=0}^n(-1)^kC_k\binom{k+2}{n-k}=0\qquad n\ge2$$ donde $C_n$ es el $n$ El número catalán. ¡Cualquier sugerencia sobre cómo probarlo es bienvenida!

Esto surgió como un caso especial de una función generadora para árboles binarios etiquetados. En realidad puedo demostrar directamente que la identidad es cero mostrando que ciertos árboles no existen, pero espero que ver una prueba directa me ayude a encontrar fórmulas cerradas agradables para otros coeficientes de la función generadora.

Answer 1

Mi respuesta utiliza los mismos métodos que la de tc2718 a un problema muy similar.

Dejemos que $a_n$ sea la cantidad en cuestión, y que $F(x)=\sum_{n\ge 0}a_nx^n$ . Evaluaremos $F$ cambiando el orden de la suma, aplicando el teorema del binomio a la suma interna, reordenando un poco, y luego reconociendo la expresión como la función generadora catalana evaluada en $-x-x^2$ . $$ \begin{align} F(x) &=\sum_{n\ge 0}\sum_{k=0}^n (-1)^k C_k \binom{k+2}{n-k}x^n \\&=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k C_k \sum_{n= k}^\infty\binom{k+2}{n-k}x^n \\&=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k C_k \; x^k(1+x)^{k+2} \\&=(1+x)^2\sum_{k=0}^\infty C_k \; (-x-x^2)^k \\&=(1+x)^2 \frac{1-\sqrt{1-4(-x-x^2)}}{2(-x-x^2)} \\&=(1+x)^2 \frac{1-\sqrt{(1+2x)^2}}{2(-x-x^2)} \end{align} $$ En este caso, debemos elegir la rama de $\;\sqrt{\cdot}\;$ donde $\sqrt{(1+2x)^2}=+(1+2x)$ ya que la otra opción provoca un polo en $x=0$ y nuestra definición de $F(x)$ deja claro que no hay ningún poste allí. Finalmente, \begin{align} F(x)=(1+x)^2 \cdot \frac{1-(1+2x)}{-2x(1+x)}=1+x \end{align}

Esta expresión de forma cerrada para $F(x)=\sum_{n\ge 0}a_nx^n$ muestra que $a_0=a_1=1$ , mientras que $a_n=0$ para $n\ge 2$ .

Answer 2

Esta respuesta utiliza el cálculo de Umbral.

Dada la variable formal $\,c,\,$ definen la forma operador lineal en serie de potencia

$$ L\!\!\left[\sum_{n=0}^\infty a_nc^n\right] := \sum_{n=0}^\infty a_nC_n. $$

Definir la función generadora de números catalanes

$$ C(x) := L\left[\frac1{1-c\,x}\right] = \sum_{n=0}^\infty C_n x^n = \frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}. $$

Definir la función generadora

$$ F(x) := \sum_{n=0}^\infty (-1)^kC_k\binom{k+2}{n-k}x^n. $$

Definir la función generadora

$$ f(x,y) := \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n (-1)^k{k+2\choose n-k}y^k\right)x^n. $$

Ahora bien, según las definiciones anteriores

$$ F(x) = L[f(x,c)]. $$

Verifique que

$$ f(x,y) = \frac{(1 + x)^2}{ 1 + y (x + x^2) }. $$

Ahora consigue

$$ F(x) = (1+x)^2 C(-(x+x^2)) = 1+x $$

de

$$ C(-(x\!+\!x^2)) \!=\! \frac{1\!-\!\sqrt{1\!+\!4(x\!+\!x^2)}} {-2(x\!+\!x^2)} \!=\! \frac{1-(1\!+\!2x)}{-2(x\!+\!x^2)} \!=\! \frac1{1\!+\!x}. $$

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Fíjate, mi respuesta a Pregunta MSE 4317353 también utiliza el cálculo Umbral para demostrar otra recursión de números catalanes identidad. Además, la respuesta aceptada a esta pregunta es muy similar a la mía, salvo que no utiliza el operador lineal del cálculo de Umbral.