Una pregunta de probabilidad muy tonta.

Question

He encontrado esta pregunta(que creo que es bastante fácil) aunque no lo es tanto.

Hay diez cartas en una mesa, numeradas del 1 al 10. Si eliges la carta numerada como 10, ganas 20 \$ but if you pick any other card, you win 0\$ . Elige una carta. ¿Cuál es la cantidad que se espera que gane?

Pensé que la respuesta debía ser 20\$ pero no es así .

Answer 1

Para una variable aleatoria $X$ que toma valores $x_i$ con probabilidad $\mathbb{P}(X=x_i)=p_i$ el valor esperado $\mathbb{E}[x]$ se define como

$$ \mathbb{E}[X] = \sum_{i}{x_ip_i}=x_1p_1+x_2p_2+\ldots. $$

En su caso, $X$ toma los valores $20$ con probabilidad $1/10$ y $0$ con probabilidad $9/10$ . El valor esperado es, pues, el siguiente $$ \mathbb{E}[X]=20\times \frac{1}{10} + 0\times\frac{9}{10} = 2. $$