¿Puede alguien darme una definición precisa y clara de este espacio? $L_2(\Omega \times [0,T])$ ?
No he podido encontrar ninguno en la red.
¿Es este el espacio donde: $\forall t=t_0 \;fixed \; \in [0,T]$ que tenemos:
$E(X^2(t_0,\omega))=\int_{\omega \in \Omega}^{}X^2(t_0,\omega)d\mathbb{P}(\omega)<\infty $
Y $\forall \omega=\omega_0 \;fixed \; \in \Omega$ que tenemos:
$\int_{0}^{T}X^2(t,\omega_0)dt<\infty $
Respuesta
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$L_2(\Omega \times [0,T])$ es el espacio de las clases de equivalencia de las funciones $X(\omega,t)$ que satisfagan
$$ \int_0^T \int_{\omega \in \Omega}^{}X^2(\omega,t)\, d\mathbb{P}(\omega)\,dt <\infty \,.$$
La relación de equivalencia es la igualdad a.e. con respecto a la medida del producto $\mathbb{P} \times \text{Lebesgue}_{[0,T]}.$
El orden de integración no importa por el teorema de Tonelli. El producto interior en este espacio es, como es habitual en $L^2$ espacios, $$\langle X,Y \rangle :=\int_0^T \int_{\omega \in \Omega}^{}X (\omega,t)Y(\omega,t) \, d\mathbb{P}(\omega)\,dt \,.$$ (Si se permite que las funciones tomen valores complejos, entonces $Y$ debe conjugarse).
