Pregunta sobre la métrica de Prokhorov

Question

Dejemos que $X$ y $Y$ sean dos variables aleatorias con momentos de primer orden, es decir $E[|X|]$ , $E[|Y|]<+\infty$ . Supongamos además que

$$E\left[|X-Y|\right]<\varepsilon.$$

Set $Law(X)=\mu$ y $Law(Y)=\nu$ es evidente que $\mu$ y $\nu$ están cerca en la métrica de Prokhorov, véase

https://en.wikipedia.org/wiki/L%C3%A9vy%E2%80%93Prokhorov_metric

para la definición. Denotemos por $\rho(\cdot,\cdot)$ la métrica de Prokhorov. Mi pregunta es cómo estimar $\rho(\mu,\nu)$ . Por ejemplo, podríamos demostrar que $\rho(\mu,\nu)<\varepsilon$ o $\rho(\mu,\nu)<\sqrt{\varepsilon}$ ? ¡Gracias por la respuesta!

Answer 1

$\sqrt{\varepsilon}$ obras. Supongamos que para algún conjunto $A$ tenemos $\mu(A)=a$ y $\nu(A^{\sqrt{\varepsilon}})<a-\sqrt{\varepsilon}$ . Entonces, con probabilidad más $\sqrt{\varepsilon}$ tenemos $X\in A$ , $Y\notin A^{\sqrt{\varepsilon}}$ . En este caso $|X-Y|\geqslant \sqrt{\varepsilon}$ seguro. De ahí la expectativa de $|X-Y|$ es más que $\varepsilon$ .