El núcleo de tu pregunta no tiene mucho que ver con la topología: es una pregunta sobre conjuntos. Antes de poder definir una topología en $X \coprod Y$ , hay que entender qué es este objeto en el nivel de conjuntos . Ya en ese nivel se puede preguntar (sin ninguna referencia a la topología)
Si $A \subset X$ y $B \subset Y$ ¿es cierto que $A \coprod B \subset X \coprod Y$ ?
Hay dos maneras de introducir un nuevo objeto matemático:
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Enfoque constructivo directo: Simplemente dar una construcción explícita del objeto.
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Enfoque conceptual: Especificar una propiedad característica que determine el objeto deseado hasta el isomorfismo único y luego demostrar la existencia mediante una construcción explícita.
En mi opinión, se debe preferir el enfoque conceptual porque explica la propósito de lo que se introduce. Este enfoque es, por supuesto, más abstracto, y también requiere para construir el nuevo objeto.
Creo que sabes que el concepto de unión disjunta de conjuntos puede introducirse de la siguiente manera:
Dados dos conjuntos $X,Y$ decimos que un triple $(X \coprod Y, i_X, i_Y)$ que consiste en un conjunto $X \coprod Y$ y funciones $i_X : X \to X \coprod Y, i_Y : Y \to X \coprod Y$ tiene el propiedad de unión disjunta si para cada par de funciones $f_X : X \to Z, f_Y :Y \to Z$ que tienen el mismo codominio $Z$ existe una función única $f : X \coprod Y \to Z$ tal que $f \circ i_X = f_X, f \circ i_Y = f_Y$ .
Es fácil comprobar que todas las triplas que tienen la propiedad de unión disjunta son isomorfas a través de un único isomorfismo "preservador de la estructura". Además, las funciones $i_X, i_Y$ debe ser necesariamente inyectiva y tenemos $i_X(X) \cup i_Y(Y) = X \coprod Y, i_X(X) \cap i_Y(Y) = \emptyset$ . Por lo tanto, incrustan $X, Y$ como subconjuntos disjuntos en $X \coprod Y$ y con frecuencia los autores consideran $X,Y$ como auténticos subconjuntos de $X \coprod Y$ aunque esto en general no es literalmente cierto.
Queda por construir un triple con la propiedad de unión disjunta. Un enfoque estándar es definir $$X \coprod Y = X \times \{1\} \cup Y \times \{2\},$$ $$i_X(x) = (x,1), i_Y(y) = (y,2).$$ Con esta definición, la respuesta a su pregunta es "sí".
Tenga en cuenta que si $X \cap Y = \emptyset$ también podemos tomar $X \coprod Y = X \cup Y$ Entonces $i_X, i_Y$ son las inclusiones genuinas. Entonces la respuesta es de nuevo "sí". Sin embargo, podríamos utilizar una definición más exótica como
$$X \coprod Y = X \times \{(X,1)\} \cup Y \times \{(Y,2)\}$$ con lo obvio $i_X, i_Y$ . En ese caso la respuesta es "no".
Ya ves que la respuesta a tu pregunta depende de la construcción específica de las uniones disjuntas. Puedes hacerlo de forma que obtengas inclusiones genuinas $A \coprod B \subset X \coprod Y$ y esta es una característica particularmente agradable, pero también se puede hacer de otra manera.
En mi opinión, la propiedad $A \coprod B \subset X \coprod Y$ no es tan importante. Basta con saber que $A \coprod B$ incrustaciones canónicas en $X \coprod Y$ y eso es todo lo que necesitamos.
Observación:
Hay muchos casos similares, por ejemplo el producto cartesiano de conjuntos. También depende de la construcción específica si tenemos $A \times B \subset X \times Y$ .
Actualización relativa a la incrustación canónica de $A \coprod B$ en $X \coprod Y$ :
Funciones dadas $u : X \to X', v : Y \to Y'$ Considera que $f'_X = i_{X'} \circ u : X \to X' \coprod Y', f'_Y = i_{Y'} \circ v : Y \to X' \coprod Y'$ . Por la propiedad universal obtenemos una función única $u \coprod v : X \coprod Y \to X' \coprod Y'$ tal que $(u \coprod v) \circ i_X = f'_X = i_{X'} \circ u, (u \coprod v) \circ i_Y = f'_Y = i_{Y'} \circ v$ .
Aplicar esto a las inclusiones $j_A : A \hookrightarrow X, j_B : B \hookrightarrow Y$ .
