Demostrar que $\langle f,g \rangle = \int_0^1 f(t)g(t) dt$ es un producto interno sobre $C([0,1])$

Question

Pregunta: Que $V=C([0,1])$ sea el espacio vectorial de las funciones continuas de valor real sobre $[0,1]$ . Para $f,g \in V$ , defina $$\langle f,g \rangle = \int_0^1 f(t)g(t) dt. $$ Demostrar que $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ es un espacio de producto interno.

Sé que tenemos que probar según el $4$ condiciones del espacio del producto interior.
Pero no entiendo cómo probar la $4$ -a condición, es decir, el concepto y los pasos que hay detrás.

$4$ - la condición: $\langle u,u \rangle >0$ , si $u \neq 0 $ Mi profesor me explicó cómo demostrarlo utilizando el concepto de continuidad.

Answer 1

Si $f$ no es idéntico a cero, entonces hay $x_0\in [0,1]$ tal que $f^2(x_0)>0$ . Por continuidad hay $0\leq a<b\leq 1$ tal que $x_0\in[a,b]$ y $f^2(x)\geq f^2(x_0)/2$ para todos $x\in [a,b]$ . Por lo tanto, $$\langle f,f \rangle=\int_0^1 f^2(x) dx\geq \int_{a}^{b} f^2(x)\, dx\geq \frac{f^2(x_0)}{2}\int_{a}^{b} \, dx=\frac{(b-a)f^2(x_0)}{2}>0.$$

Answer 2

Supongamos que $\langle u,u\rangle = 0$ . Entonces, para todos los $0 \le x \le 1$ , $$ 0 \le \int_{0}^{x}u(t)^2 dt \le \int_{0}^{1}u(t)^2 dt = 0. $$ Por lo tanto, por el Teorema Fundamental del Cálculo, $$ 0=\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}u(t)^2dt = u(x)^2,\;\; x \in [0,1]. $$