Números construibles

Question

Si sabemos que $\sin(n^\circ)$ es construible donde $n$ es un número entero, entonces es $\sin((an)^\circ)$ también se puede construir para cualquier número entero $a$ ?

Estoy pensando que debería ser pero no estoy seguro de cómo mostrarlo? Quizás usando alguna relación de recurrencia para el pecado, para expresarlo completamente en términos de potencias de $\sin(n^\circ)$ ?

¡Lo tengo!

Answer 1

Sí. Utilizando la fórmula de adición trigonométrica $sin(an)$ es un polinomio en $sin (n),cos(n)$ (ambos son construibles). Como el conjunto de números construibles es un campo, por tanto $sin(an)$ es construible

Answer 2

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $\sin(x)$ es construible si $\cos(x)$ es construible: ya que $\sin(x)$ es, $\sin^2(x)$ es, así que $\cos^2(x) = 1-\sin^2(x)$ es, y puedes utilizar uno de los métodos clásicos de regla y compás para las raíces cuadradas (por ejemplo http://www.cs.cas.cz/portal/AlgoMath/Geometry/PlaneGeometry/GeometricConstructions/SquareSquareRootConstruction.htm ) para construir $\cos(x)$ de $\cos^2(x)$ . Ahora, basta con utilizar la fórmula de adición para $\sin$ para demostrar la afirmación por inducción: $\sin((n+1)x) = \sin(nx)\cos(x)+\cos(nx)\sin(x)$ .

Además, hay que tener en cuenta que lo contrario no es cierto; con $x=20^\circ$ , $\sin(3x) = \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} $ es construible pero $\sin(x)$ no lo es.

Answer 3

Se puede construir el seno de un ángulo $\theta$ si y sólo si puede construir $e^{i\theta}$ porque si se puede construir una longitud $\sin(\theta)$ , puedes construir la línea $y = \sin(\theta)$ y construyendo el círculo centrado en el origen de radio $1$ , se obtiene $e^{i\theta}$ . Por el contrario, dado que $e^{i\theta}$ es construible, ya que los números construibles forman un campo, también se puede producir $$ \sin(\theta) = \frac{e^{i\theta} + \frac 1{e^{i\theta}}}2. $$ Construyendo $\sin(a \theta)$ equivale, por tanto, a construir $e^{i (a\theta)} = (e^{i\theta})^a$ que es sólo un producto de números construibles si $a$ es un número entero positivo. Por lo tanto $\sin(a \theta)$ es construible.

Si $a$ es negativo, utilice la fórmula $\sin(-\theta) = - \sin(\theta)$ .

Espero que eso ayude,

Answer 4

Un poco de tautología, supongo. La bonita afirmación viene de la observación de que un ángulo $\theta$ es construible (como un ángulo en un triángulo rectángulo, por ejemplo) si y sólo si $\sin \theta$ o $\cos \theta$ o $\tan \theta$ es construible, siendo estas tres condiciones equivalentes para, por ejemplo, los ángulos agudos. Es más o menos gratuito que la suma o la diferencia de ángulos construibles sea también construible.

Lo atractivo es esto: los ángulos construibles en la superficie de la esfera unitaria, y los ángulos construibles en el plano hiperbólico de curvatura $-1,$ son exactamente los mismos que los ángulos construibles en el plano euclidiano tradicional.

El corrector ortográfico prefiere "constructible". Pensé que era "i".

Sólo para darle sabor, o gusto, generalmente es imposible en el plano hiperbólico trisecar un segmento de línea, lo cual parece misterioso. Sin embargo, si se pone un segmento de línea en el ecuador de la esfera unitaria y se considera el triángulo hecho con el polo norte, se ve que se pide la trisección del ángulo en el polo norte. Y la trisección de ángulos suele ser imposible; lo sabemos por el plano euclidiano.