Probabilidad con composiciones

Question

Estoy tratando de resolver una pregunta de dos partes:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una composición dada de $n$ tiene una primera parte $1$

b) ¿Cuál es la probabilidad de que una composición seleccionada al azar de $n$ tiene una segunda parte y la segunda parte es $1$

Por a) lo tengo:

$$P(a) = \frac{|E|}{2^{n-1}}$$ donde |E| es el número de composiciones con una primera parte de uno. Soy una cosa $|E|$ es ${n \choose1}\cdot{n-1 \choose k-1}$ . Como queremos elegir $1$ para la primera parte y cualquier variación del resto de los elementos. Esto es usando particiones de conjuntos que no estoy seguro de que sea correcto.

Para la segunda parte no estoy del todo seguro. Cualquier sugerencia será muy apreciada.

Answer 1

Llamar a una composición con la primera parte $1$ buena . Una composición de $n-1$ puede extenderse de forma única a una buena composición de $n$ poniendo un $1$ al frente. Por lo tanto, hay $2^{n-2}$ buenas composiciones de $n$ .

Para la segunda parte, además de la composición en $1$ parte, todos los demás ceden al mismo argumento que el anterior. En las composiciones con al menos $2$ partes, no hay diferencia efectiva entre ser el primero y el segundo.

Answer 2

Para a) si una composición de $n$ tiene la primera parte $1$ el resto es una composición de $n-1$ . Así que si $C(n)$ es el número de composiciones de $n$ quieres $\frac {C(n-1)}{C(n)}$ . Para b) es necesario eliminar las composiciones que tienen $n$ como primer (y único) elemento y aplicar a)