$A\otimes_{\mathbb C}B$ es finitely generado como un $\mathbb C$-álgebra. ¿Esto implica que $A$ $B$ son finitely generado?

Question

Considere la posibilidad de $A$ $B$ $\mathbb C$- álgebras tal que $A\otimes_{\mathbb C}B$ es finitely generado como un $\mathbb C$-álgebra. ¿Esto implica que $A$ $B$ son finitely generado?

Yo sé que para general álgebras, esto es falso. De hecho, $\mathbb Q$ es infinitamente generado más de $\mathbb Z$, pero el producto tensor $ \mathbb Q\otimes_\mathbb Z \mathbb Z_2 =0$. Para $\mathbb C$-álgebras sin embargo, me parece que no puede encontrar un contra-ejemplo.

Answer 1

Sí, es tan largo como $A$ $B$ son no tanto el cero del anillo (obviamente $A\otimes 0=0$ es finitely generado por cualquier $A$). Elegir un conjunto finito de generadores de $A\otimes_\mathbb{C} B$; cada uno de estos es una suma finita de los tensores $a\otimes b$. Deje $A_0\subseteq A$ ser el subalgebra generado por todas las $a$'s que aparecen en estos tensores. A continuación, $A_0$ es finitely generado, y vemos que el natural mapa de $A_0\otimes_\mathbb{C} B\to A\otimes_\mathbb{C} B$ es surjective (desde su imagen contiene todos los tensores $a\otimes b$ en nuestros generadores). Mientras $B\neq 0$, esto implica que $A_0$ es de $A$. Por lo tanto $A$ es finitely generado. Por el mismo argumento, $B$ es también finitely generado.

Este argumento claramente trabaja con $\mathbb{C}$ reemplazado por cualquier campo. Mucho más en general, un argumento similar muestra que si $R$ es cualquier anillo de la base e $A$ $B$ $R$- álgebras tal que $B$ es fielmente plana por $R$, entonces si $A\otimes_R B$ es finitely generado como un $B$-álgebra (en particular, si es que finitely genera como una $R$-álgebra), a continuación, $A$ es finitely genera como una $R$-álgebra.