Proceso de Poisson con diferentes tasas de servicio

Question

Estoy haciendo una pregunta del tutorial pero creo que la respuesta puede ser errónea.

La pregunta es la siguiente:

En un determinado sistema, un cliente debe ser atendido primero por el servidor 1 y luego por el servidor 2. Los tiempos de servicio en el servidor i son exponenciales con tasa $\mu_{i}$ (i = 1; 2). El que encuentra el servidor 1 ocupado, espera en la cola de ese servidor. Una vez finalizado el servicio en el servidor 1, el cliente entra en servicio con el servidor 2 si éste está libre o bien se queda con el servidor 1 (bloqueando cualquier (bloqueando la entrada de cualquier otro cliente en el servicio) hasta que el servidor 2 esté libre. Los clientes abandonan el sistema después de ser atendidos por el servidor 2.

Supongamos ahora que llega para encontrar otros dos en el sistema, uno de ellos atendido por el servidor 1 y el otro por el servidor 2. ¿Cuál es el tiempo que se espera que pase en el sistema?

En las respuestas denotan $W_{1}$ el tiempo de espera para que el servidor 1 esté disponible.

En consecuencia, han demostrado que:

E( $W_{1})$ = $\frac{1}{\mu_{1}} + \frac{\mu_{1}}{\mu_{2}(\mu_{1}+\mu_{2})}$

Sin embargo, creo que la respuesta es:

E( $W_{1})$ = $\frac{\mu_{2}}{\mu_{1}(\mu_{1}+\mu_{2})} + \frac{\mu_{1}}{\mu_{2}(\mu_{1}+\mu_{2})}$

¿Cuál es la respuesta correcta?

Answer 1

Hay cuatro partes, creo que su pregunta se refiere al primer punto:

1) el tiempo de espera del servidor 1, que a su vez se divide en dos casos según el empleado que haya terminado primero: $\frac{1}{\mu_1}\left( \frac{\mu_2}{\mu_1 + \mu_2} \right) + \left( \frac{1}{\mu_2} + \frac{1}{\mu_1} \right) \left( \frac{\mu_1}{\mu_1 + \mu_2} \right)$

Pero después de un poco de álgebra, esto es igual a $ = \frac{1}{\mu_1} \left( \frac{\mu_1 + \mu_2}{\mu_1 + \mu_2} \right) + \frac{\mu_1}{\mu_2(\mu_1 + \mu_2)} = \frac{1}{\mu_1} + \frac{\mu_1}{\mu_2(\mu_1 + \mu_2)}$

Lo que significa que lo que "ellos" le han mostrado es correcto después de todo.

Creo que el problema de tu cálculo es que has olvidado añadir $\frac{1}{\mu_1}$ cuando el servidor 1 termina primero. Recuerda que este proceso no tiene memoria. Por lo tanto, cuando el 1 termina primero, usted ha esperado el tiempo que pasó con el empleado 1, y además, tendrá que esperar a la persona que se sirve en el 2, ya que comenzó de nuevo.

BTW, estas deberían ser las otras partes del problema por si a alguien le interesa:

2) Tiempo de obtención del servicio con el servidor 1: $\frac{1}{\mu_1}$

3) Tiempo de espera del servidor 2: $0\left(\frac{\mu_2}{\mu_1 + \mu_2}\right) + \left( \frac{1}{\mu_2} \right) \left( \frac{\mu_1}{\mu_1 + \mu_2} \right)$

4) Tiempo de servicio con el servidor 2: $\frac{1}{\mu_2}$

La solución debe ser la suma de las 4 partes.