Mostrar $\frac 1 3 C_0+\left(\frac 2 3 \right)\left(\frac 1 3 \right)^2 C_1+\left(\frac 2 3\right)^2 \left(\frac 1 3 \right)^3 C_2 +\dots =\frac 1 2$

Question

A partir de un rompecabezas con cadenas de Markov tengo la siguiente expresión, y calculando $50$ términos de la suma creo firmemente $$\frac 1 3 C_0 + \left(\frac 2 3 \right) \left(\frac 1 3 \right)^2 C_1 + \left(\frac 2 3 \right)^2 \left(\frac 1 3 \right)^3 C_2 + \dots = \frac 1 2$$

donde $C_n$ es el enésimo número catalán. Conozco cada término de la suma $$x_{n+1} = \left(\frac 2 9 \right) \frac{2(2n+1)}{n+2} x_n$$ por lo que la suma converge, pero no sé cómo demostrar que converge a $1/2$ .

Answer 1

Utiliza la función generadora de los números catalanes: $$c(x) = \sum_{n=0}^\infty C_n x^n = \frac{2}{1+\sqrt{1-4x}}.$$ Así que, $$\begin{align}\frac 1 3 C_0 + \left(\frac 2 3 \right) \left(\frac 1 3 \right)^2 C_1 + \left(\frac 2 3 \right)^2 \left(\frac 1 3 \right)^3 C_2 + \dots &= \frac13 \sum_{n=0}^\infty C_n \left(\frac29\right)^n \\ &= \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{1+\sqrt{1-\frac89}} \\ &= \frac{1}{3} \frac{2}{\frac43} \\&= \frac12.\end{align}$$