Círculos de convergencia de las series de Taylor complejas

Question

Estoy tratando de encontrar las series de Taylor y los círculos de convergencia para tres funciones diferentes.

i) $\frac{\sin{z}}{z}$ que determiné que la serie de Taylor es $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{z^{2n}}{(2n+1)!}$

ii) $z\cosh{z^2}$ se convierte en $\sum_{n=0}^\infty \frac{z(z^2)^{2n}}{2n!}$

iii) $\frac{z}{z^4+9}$ se convierte en $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{z^{4n+1}}{9^{n+1}}$

Estoy perplejo sobre cómo encontrar los círculos de convergencia. Entiendo que el círculo de convergencia se define por el radio de convergencia, pero tengo problemas para determinar el radio de convergencia.

Answer 1

Aquí hay un esquema de la prueba de proporción, y un ejemplo trabajado: Si $(a_{n})$ es una secuencia de términos reales o complejos (que pueden contener variables), y si $$\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = L < 1,$$ (en el sentido de que el límite indicado existe, y es menor que $1$ ), entonces $\sum\limits_{n=0}^{\infty} |a_{n}|$ converge, por lo que $\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_{n}$ converge.

Por ejemplo, supongamos que queremos el círculo de convergencia de la serie de potencias $$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{(3z - 5)^{2n+1}}{n^{2}}, \quad\text{so that}\quad a_{n} = (-1)^{n} \frac{(3z - 5)^{2n+1}}{n^{2}}.$$ Calculamos (utilizando $|-1| = 1$ y omitiendo varios pasos de álgebra) $$\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{(3z - 5)^{2n+3}}{(n + 1)^{2}} \cdot \frac{n^{2}}{(3z - 5)^{2n+1}}\right| = |3z - 5|^{2} \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2}}{(n + 1)^{2}} = |3z - 5|^{2} = L.$$ En consecuencia, la serie original converge si $|3z - 5| < 1$ (la toma de raíces cuadradas preserva la desigualdad), es decir, si $|z - 5/3| < 1/3$ y diverge si $|z - 5/3| > 1/3$ .

El radio de convergencia es $1/3$ y el centro es $z_{0} = 5/3$ .

Los tres ejemplos que tenemos a mano funcionan de forma similar (aunque tendrás que cancelar algunos cocientes de factoriales para encontrar $L$ ). Si encuentra que $L = 0$ independientemente de $z$ esa serie converge absolutamente para todo complejo $z$ .