Voy a impartir un curso sobre superficies de Riemann el próximo trimestre, y me gustaría como una lista de hechos que ilustran la diferencia entre la teoría de las variedades reales (diferenciables) y la teoría de las variedades no singulares (sobre, digamos, $\mathbb{C}$ ). Estoy buscando ejemplos que sean significativos para los estudiantes de segundo año de los Estados Unidos que hayan cursado 1 año de topología y 1 semestre de análisis complejo.
He aquí algunos ejemplos que se me ocurren:
1. Cada $n$ -de una variedad real de dimensiones se incrusta en $\mathbb{R}^{2n}$ . Por el contrario, una variedad proyectiva no se incrusta en $\mathbb{A}^n$ para cualquier $n$ . Cada $n$ -variedad proyectiva no sinular en $\mathbb{P}^{2n+1}$ pero hay variedades propias no singulares que no se incrustan en ningún espacio proyectivo.
2. Supongamos que $X$ es un colector real y $f$ es una función suave sobre un subconjunto abierto $U$ . Dado $V \subset U$ contenida de forma compacta en $U$ existe una función global $\tilde{g}$ que está de acuerdo con $f$ en $V$ y es idénticamente cero fuera de $U$ .
Por el contrario, consideremos la misma situación cuando $X$ es una variedad no singular y $f$ es una función regular. Puede ser imposible encontrar una función regular global $g$ que está de acuerdo con $f$ en $V$ . Cuando $g$ existe, es único y (cuando $f$ es distinto de cero) no es idénticamente cero en el exterior de $U$ .
3. Si $X$ es un colector real y $p \in X$ es un punto, entonces el anillo de gérmenes en $p$ es no etereo. El anillo local de una variedad en un punto es siempre noetheriano.
¿Cuáles son otros ejemplos?
También son bienvenidas las respuestas que ilustren la diferencia entre las variedades reales y las complejas.
