¿Cuál es la diferencia entre un colector real y una variedad suave?

Question

Voy a impartir un curso sobre superficies de Riemann el próximo trimestre, y me gustaría como una lista de hechos que ilustran la diferencia entre la teoría de las variedades reales (diferenciables) y la teoría de las variedades no singulares (sobre, digamos, $\mathbb{C}$ ). Estoy buscando ejemplos que sean significativos para los estudiantes de segundo año de los Estados Unidos que hayan cursado 1 año de topología y 1 semestre de análisis complejo.

He aquí algunos ejemplos que se me ocurren:

1. Cada $n$ -de una variedad real de dimensiones se incrusta en $\mathbb{R}^{2n}$ . Por el contrario, una variedad proyectiva no se incrusta en $\mathbb{A}^n$ para cualquier $n$ . Cada $n$ -variedad proyectiva no sinular en $\mathbb{P}^{2n+1}$ pero hay variedades propias no singulares que no se incrustan en ningún espacio proyectivo.

2. Supongamos que $X$ es un colector real y $f$ es una función suave sobre un subconjunto abierto $U$ . Dado $V \subset U$ contenida de forma compacta en $U$ existe una función global $\tilde{g}$ que está de acuerdo con $f$ en $V$ y es idénticamente cero fuera de $U$ .

Por el contrario, consideremos la misma situación cuando $X$ es una variedad no singular y $f$ es una función regular. Puede ser imposible encontrar una función regular global $g$ que está de acuerdo con $f$ en $V$ . Cuando $g$ existe, es único y (cuando $f$ es distinto de cero) no es idénticamente cero en el exterior de $U$ .

3. Si $X$ es un colector real y $p \in X$ es un punto, entonces el anillo de gérmenes en $p$ es no etereo. El anillo local de una variedad en un punto es siempre noetheriano.

¿Cuáles son otros ejemplos?

También son bienvenidas las respuestas que ilustren la diferencia entre las variedades reales y las complejas.

Answer 1

Esta es una lista sesgada hacia lo que es notable en el caso complejo. (Al potencialmente molesto de las variedades reales: yo también te quiero.) Por "complejo" me refiero a las variedades holomorfas y a los mapas holomorfos; por "real" me refiero a $\mathcal{C}^{\infty}$ colectores y $\mathcal{C}^{\infty}$ mapas.

• Considere un mapa $f$ entre los colectores de igual dimensión. En el caso complejo: si $f$ es inyectiva entonces es un isomorfismo sobre su imagen. En el caso real, $x\mapsto x^3$ no es invertible.

• Consideremos una holomorfa $f: U-K \rightarrow \mathbb{C}$ , donde $U\subset \mathbb{C}^n$ está abierto y $K$ es un t.s. compacto. $U-K$ está conectado. Cuando $n\geq 2$ , $f$ se extiende a $U$ . Este llamado fenómeno de Hartogs no tiene contrapartida en el caso real.

• Si una variedad compleja es compacta o es un subconjunto abierto acotado de $\mathbb{C}^n$ , entonces su grupo de automorfismos es un grupo de Lie. En el caso liso siempre es de dimensión infinita.

• El espacio de las secciones de un haz vectorial sobre una variedad compleja compacta es de dimensión finita. En el caso real es siempre de dimensión infinita.

• Para ampliar la excelente respuesta de Charles Staats: pocas atlas lisas resultan ser holomorfas, pero aún menos difeomorfismos resultan ser holomorfos. Considerando las variedades hasta el isomorfismo, el resultado neto es que muchas variedades complejas vienen en familias continuas, mientras que las variedades reales rara vez lo hacen (en dimensión distinta de $4$ Una variedad topológica compacta tiene a lo sumo un número finito de estructuras suaves; $\mathbb{R}^n$ tiene exactamente uno).

Sobre el tema de subconjuntos cero (es decir, subconjuntos definidos localmente por la desaparición de una o varias funciones):

• Una siempre define una ecuación codimensión uno subconjunto en el caso complejo, pero { $x_1^2+\dots+x_n^2=0$ } se reduce a un punto en $\mathbb{R}^n$ .

• En el caso complejo, un subconjunto cero no es necesariamente un submanifold, pero es susceptible de la teoría de los colectores mediante la desingularización de Hironaka. En el caso real, cualquier subconjunto cerrado es un conjunto cero.

• La imagen de un mapa propio entre dos variedades complejas es un subconjunto cero, por lo que no es tan malo por el punto anterior. Tal imagen directa es difícil de tratar en el caso real.

Answer 2

Dos superficies compactas (sin límite) del mismo género son difeomorfas. Sin embargo, si S es una superficie de género g > 0, hay un número incontable de estructuras complejas (o, equivalentemente, algebraicas) no isomorfas en S.

Answer 3

Algunas declaraciones de incrustación.

Una subvariedad compleja compacta de ${\mathbb{C}}^n$ es un punto. Sin embargo, toda colector real compacto de dimensión $n$ puede realizarse como un submanifold de algún ${\mathbb{R}}^{2n}$ .

Existen variedades complejas compactas que no pueden incrustarse en un espacio proyectivo complejo. Un ejemplo que se cita a menudo en los libros de texto es la variedad de Hopf, que ni siquiera es Kahler. Por otra parte, he oído que la incrustación en un espacio proyectivo real no se considera a menudo en la geometría diferencial.

Answer 4

Algunas de estas propiedades son locales y distinguen las funciones analíticas y algebraicas de las funciones suaves.

Otros son globales y distinguen las variedades compactas de las proyectivas por su diferencia en la contención de muchas subvariedades.

algunos son tan simples como contrastar la dimensión, y la homología de digamos el espacio real proyectivo con la del espacio complejo proyectivo, como se ha señalado.

Como contraste profundo entre estructura lisa y analítica me gusta la respuesta que señala que las superficies analíticas de riemann pueden tener muchas estructuras no isomorfas en la misma variedad lisa. esto es interesante ya para las variedades de género uno. y no es trivial demostrar que la esfera tiene una sola estructura analítica compleja.

que podría ser un reto divertido para una clase, demostrar que dos superficies de Riemann, ambas difeomorfas a la 2-esfera, son holomórficamente isomorfas.

También podrían interesarle algunos de los artículos de Kolla'r sobre la conjetura de Nash en los que se contrastan las variedades reales y las variedades reales, como "¿Qué son las variedades más simples?", Boletín, vol. 38. Me gusta el par de teoremas 54, 51, subtitulados respectivamente "La conjetura de Nash es verdadera en dim 3", y "La conjetura de Nash es falsa en dim 3".

Answer 5

Una variedad real conectada puede ser desconectada por la eliminación de un submanifold, pero el complemento de una subvariedad en una variedad irreducible sigue siendo conectado.