Todos los subespacios de $\mathbb{R^4}$ y $\mathbb{C^n}$ [Strang P129 3.1.14]

Question

Los subespacios de $\mathbb{R^n}$ son $\mathbb{R^4}$ mismo, los planos tridimensionales $\mathbf{n \cdot v = 0}$ , bidimensional subespacios $\mathbf{n_1 \cdot v = 0}$ y $\mathbf{n_2 \cdot v = 0}$ , líneas unidimensionales que atraviesan $(0, 0, 0, 0)$ y $(0, 0, 0, 0)$ por sí mismo.

1. ¿Encontrar todos los subespacios de $\mathbb{R^n}$ implican el mismo nivel de dificultad? ¿Y para $\mathbb{C^n}$ ?
   Si es así, pase por alto $\mathbb{R^4}$ aquí y considerar esta cuestión para $\mathbb{C^n}$ .

2. Recuerdo que $(0, 0, 0, 0)$ y $\mathbb{R^4}$ son los subespacios triviales de $\mathbb{R^4}$ , pero no percibo cómo derivar/deducir el otro $3$ ¿Subespacios?

3. ¿Podría alguien explicar la intuición de los subespacios propios (no triviales)?

Answer 1

¿Encontrar todos los subespacios de $\Bbb R^n$ implican el mismo nivel de dificultad?

No percibo cómo derivar/deducir los otros 3 subespacios.

Tenga en cuenta que para cualquier campo $\Bbb F$ , $k$ vectores linealmente independientes en $\Bbb F^n$ (con $k\leq n$ ) abarcará un $k$ subespacio dimensional. Así, es posible producir un $k$ subespacio dimensional para cada $k$ donde $0\leq k\leq n$ . Esto es válido para cualquier campo: $\Bbb R$ o $\Bbb C$ son sólo casos particulares.

En segundo lugar, "los otros 3 subespacios" no es realmente una cosa exacta... hay muchos subespacios de cada dimensión. Por ejemplo, se puede poner un conjunto de $1$ -en correspondencia con los elementos no nulos de $\Bbb F$ Así que si $F$ es infinito, hay infinitamente muchos distintos $1$ -subespacios dimensionales.

Pero sí, los subespacios tienen necesariamente una dimensión entre $0$ y $n$ .

¿Podría alguien explicar la intuición de los subespacios propios (no triviales)?

No son más que espacios vectoriales de menor dimensión contenidos en $\Bbb F^n$ y utilizan la misma suma y multiplicación escalar que el espacio vectorial que los contiene. ¿Qué más hay que decir?