Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert separable. ¿Es cierto que existe un isomorfismo de $C^*$ -algebras $$B(H)\hat{\otimes} K(H)\cong B(H)$$ donde $B(H)$ es el álgebra de los operadores acotados, $K(H)$ ¿es el ideal de los operadores compactos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Matt Miller
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En respuesta a Matt "llamando a mi farol" me di cuenta de que mi afirmación requiere un poco de trabajo para justificar. Lo que sigue es en gran medida un "pensamiento en voz alta a través de un resfriado", por lo que no es una exposición pulida, y probablemente he pasado por alto simplificaciones.
Ver $K(H)$ generada por las unidades matriciales $\{e_{ij} \colon i,j\geq 1\}$ considerados como operadores de rango uno en $H=\ell^2({\mathbb N})$ .
Para cada $n\geq 1$ dejar $A_n$ sea la subálgebra cerrada de $A\otimes K(H)$ generado por $\{a\otimes e_{ij} \colon a \in A, 1\leq i \leq n , 1\leq j\leq n\}$ .
Dejemos que $\iota: A \to A$ sea el mapa de identidad y defina $\phi_n : K(H) \to {\mathbb M}_n$ truncando hasta la parte superior izquierda $n\times n$ esquina. Afirmo que $E_n := \iota \otimes \phi_n : A\otimes K(H) \to A_n$ tiene las propiedades de la expectativa condicional: $E_n(x)=x$ para todos $x \in A_n$ y $E_n (xy) = E_n(x)E_n(y)$ si $x$ o $y$ pertenece a $A_n$ . (Me convencí de ello con algunos $2\times 2$ heurística de la matriz de bloques, no debería ser difícil hacer que la prueba sea totalmente precisa).
Por lo tanto, si $A\otimes K(H)$ tiene un elemento de identidad $u$ , $E_n(u)$ es un elemento de identidad para $A_n$ para cada $n$ .
En particular, $A=A_1$ debe tener un elemento de identidad, que denotamos por $1_A$ . Entonces $1_A \otimes I_n$ debe ser el elemento de identidad para $A_n$ (porque los elementos de identidad en un álgebra son únicos). Por lo tanto, obtenemos $E_n(u) = 1_A \otimes I_n$ para todos $n$ lo que debería llevar a una contradicción con la suposición de que $u \in A\otimes K(H)$ mediante algún argumento de aproximación (por ejemplo, encontrar $u_0$ en $A\otimes {\mathbb M}_m= A_m$ para algunos $m$ tal que $\Vert u-u_0\Vert \ll 1$ entonces $u_0 = E_{m+1}(u_0)$ tiene que estar cerca de $1_A\otimes I_{m+1}$ lo cual es una contradicción ya que los elementos de $A_m$ son aniquilados por $E_{m+1}-E_m$ mientras que $1_A\otimes I_{m+1}$ no lo es).
