Proceso de Poisson Procesos estocásticos de tiempo continuo

Question

El Duronto Express llega a la estación central de Bombay según un proceso de Poisson de tasa 3 trenes/hora. Los trenes de la línea de cercanías llegan según un proceso de Poisson de tasa 4 trenes/hora.

Con la condición de que lleguen 8 trenes desde las 9 hasta las 9:40, ¿cuál es la probabilidad de que no llegue ningún tren entre las 9:10 y las 9:20?

Hasta ahora he utilizado el lema de la superposición y así la llegada de todos los trenes a la estación es un proceso de Poisson de tasa 7 trenes/hora

Ahora quiero encontrar $P(Z(20)-Z(10)=0 | Z(40) = 8)$ , donde $Z(t) = X(t)+Y(t)$ Pero estoy atascado en este punto y no sé cómo resolverlo desde aquí

Answer 1

No voy a desvelar la respuesta (¡por completo, al menos!), sin embargo podrías considerar utilizar el hecho de que $Z(20) - Z(10) \sim Poisson(\lambda = 7/6)$ .

Además, la probabilidad del evento en el que $Z(40) = 8$ dado que no hay llegadas en $[10,20]$ puede obtenerse a partir de las probabilidades de los eventos, por ejemplo, que no haya llegadas en el intervalo $[0,10]$ y 8 llegadas en $[20,40]$ o que hay 1 llegada en el intervalo $[0,10]$ y 7 llegadas en $[20,40]$ etc.

¿Creo que puedes seguir desde aquí?