¿Se puede argumentar el homeomorfismo mediante la equivalencia de métricas?

Question

Dejemos que $S^n$ sea la n-esfera con respecto a $d_2$ métrica (métrica estándar). Sea $C^n$ sea la n-esfera con respecto a $d_1$ métrica. Claramente lo tenemos,

$S^n$ $\cong$ $C^n$ (homeomorfismo).

Sin embargo, ¿se puede argumentar que esto es cierto porque $d_1$ y $d_2$ son métricas equivalentes? ¿Se puede generalizar esta idea?

Answer 1

No es una consecuencia de la equivalencia de las métricas. La razón es que la métrica $d_i$ en $\mathbb R^{n+1}$ son inducidos por las normas $\lVert - \rVert_i$ en $\mathbb R^{n+1}$ . Es bien sabido que todas las normas sobre $\mathbb R^{n+1}$ son equivalentes, es decir, generan la misma topología (la topología euclidiana) en $\mathbb R^{n+1}$ . Por lo tanto, cada norma $\lVert - \rVert : \mathbb R^{n+1} \to \mathbb R$ es una función continua con respecto a esta topología, y eso es todo lo que necesitamos saber.

Así que consideremos normas arbitrarias $\lVert - \rVert_i$ es decir $\lVert - \rVert_2$ no es necesariamente la norma euclidiana $\sqrt{\sum_{i=1}^{n+1} x_i^2}$ y $\lVert - \rVert_1$ no es necesariamente la norma $\sum_{i=1}^{n+1} \lvert x_i \rvert$ . Sea $C_i = \{ x \in \mathbb R^{n+1} \mid \lVert x \rVert_i = 1 \}$ sea la esfera unitaria con respecto a $\lVert - \rVert_i$ .

Definir $h_1 : C_1 \to C_2, h_1(x) = x/\lVert x \rVert_2$ y $h_2 : C_2 \to C_1, h_2(x) = x/\lVert x \rVert_1$ . Entonces $$h_2(h_1(x)) = h_2(x/\lVert x \rVert_2) = \dfrac{x/\lVert x \rVert_2}{\lVert x/\lVert x \rVert_2 \rVert_1} = \dfrac{x/\lVert x \rVert_2}{(1/\lVert x \rVert_2) \lVert x \rVert_1} = x / \lVert x \rVert_1 = x$$ desde $\lVert x \rVert_1 = 1$ para $x \in C_1$ . Del mismo modo, $h_1 \circ h_2 = id$ .

Para ver que la equivalencia de métricas no es suficiente, considere la métrica $d_2$ que te da $S^n$ . Definir $d'_2(x,y) = \min(d_2(x,y), 1)$ . Se trata de una métrica equivalente, pero $\{ x \in \mathbb R^{n+1} \mid d'_2(0,x) = 1 \} = \{ x \in \mathbb R^{n+1} \mid \lVert x \rVert_2 \ge 1 \}$ que no es homeomorfo a $S^n$ .