¿Cómo se formula una prueba por equivalencias en inglés?

Question

Tengo una prueba de la forma

Teorema. $A \iff \forall x D$ .

Prueba. \begin{align} A &\iff \forall x B \\ & \iff \forall x C \\ & \iff \dots \\ & \iff \forall x D \end{align} QED.

Tenga en cuenta que $A$ , $B$ , $C$ etc. son simplemente marcadores de posición para expresiones más complejas/oraciones completas que aparecen en una prueba real. ¿Cuál es la mejor manera de escribir una prueba de este tipo en inglés en lugar de simbólicamente? Este es mi primer intento:

Prueba . $A$ es verdadera si y sólo si para todo $x$ \begin{align} B, && \text{(by definition 1)} \end{align} si y sólo si para todo $x$ \begin{align} C \end{align} si y sólo si para todo $x$ \begin{align} \dots \end{align} si y sólo si para todo $x$ \begin{align} D. && \text{(by lemma 3)} \end{align} QED.

La prueba parece demasiado verbosa y monótona. También me parece pesado repetir la cláusula "si y sólo si para todos $x$ " para cada paso.

He considerado utilizar el siguiente estilo:

Prueba . $A$ es verdadera si y sólo si para todo $x$ \begin{align} & B, && \text{(by definition 1)} \\ &\text{if and only if}\quad C, \\ &\text{if and only if}\quad \dots \\ &\text{if and only if}\quad D. && \text{(by lemma 3)} \end{align} QED.

Pero no estoy seguro de que esto diga lo mismo, porque $\textrm{false} \iff \textrm{false}$ .

¿Hay alguna forma de agilizar mi prueba?

Answer 1

El objetivo de una prueba es convencer al lector de que tu argumento es sólido. Para ello, la simplificación no debe ser tu objetivo. La verborrea está bien si es instructiva. Evite la monotonía. No hay ningún algoritmo para escribir una buena demostración. La exposición matemática es un arte.

Sin los detalles sobre $A$ , $B$ , $C$ y $D$ en su ejemplo podría sugerir algo como:

Prueba:

Definición $1$ nos dice que $A$ es verdadera si y sólo si $B$ es cierto para todos $x$ . Esto equivale a $C$ porque $\ldots$ .

$\ldots$

Por último, el lema $3$ muestra que, a su vez, es equivalente a $D$ y estamos terminado.

Notas.

• La mayoría de las pruebas son secuencias de implicaciones, no equivalencias lógicas. Eso permite una redacción más variada.
• Si tiene una secuencia de equivalencias como en este ejemplo, puede que quiera teorema en la forma "Las siguientes afirmaciones son equivalentes". Una vez demostré un teorema de este tipo, con las cadenas de implicación $A \implies B \implies C \implies D \implies A$ y $C \implies E \implies F \implies B$ ,
• Si en su documento las declaraciones $A$ , $B$ , $\ldots$ son todos cortos y las equivalencias son más o menos rutinarias, entonces la exposición compacta puede ser la mejor.