Me han dado la siguiente secuencia: \begin{align*} &a_0 = 0; \\ &a_{n+1} = (a_n)^2+\frac{1}{4}. \end{align*}
También tengo que demostrar que lo que se me ocurre es la correcta, pero que probablemente va a ser la parte más fácil.
Aquí están los primeros valores:
\begin{align} &a_0 = 0 \\ &a_1 = \frac{1}{4}\\ &a_2 = \frac{5}{16}\\ &a_3 = \frac{89}{256} \\ &a_4 = \frac{24305}{65536} \end{align}
Me las he arreglado para determinar que los denominadores son de la forma $2^{2^n}$. He probado hasta a un millón de términos de esta secuencia y parece que $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n = \frac{1}{2}$. Pasé un rato tratando de encontrar algo de la forma $a_n = \frac{P(n)}{Q(n)}$. Yo no he tenido suerte con esto, así que me puse a buscar en algunas sumas. He encontrado que \begin{align*} a_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{5}{16} \end{align*} y, \begin{align*} a_3 = \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{256} = \frac{89}{256} \end{align*}
Pero ahora, \begin{align*} a_4 = \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + \frac{1}{128} + \frac{1}{512} + \frac{1}{1024} + \frac{1}{2048} + \frac{1}{4096} + \frac{1}{65536}= \frac{24305}{65536}. \end{align*}
Así que parece que hay algún tipo de la suma que involucran potencias negativas de 2, pero no es claro para mí que incluso hay un patrón aquí. Cualquier sugerencias/ayuda se agradece!
