Demuestra que $(a,b)+(c,d) = (a+c,b+d)$

Question

Dejemos que $a<b$ y $c<d$ sean números reales. Demuestre que $(a,b)+(c,d) = (a+c,b+d)$ .

No entiendo la pregunta. Ya que $(a,b)$ y $(c,d)$ son intervalos, ¿qué significa añadirlos?

Answer 1

Pista: La inclusión del conjunto $(a,b) + (c,d)\subset (a+c, b+d)$ es fácil de demostrar. La inclusión inversa es más complicada. Para la inclusión inversa, primero hay que demostrar el caso más sencillo $a=c=0$ y luego aplicar este resultado al caso general, utilizando la identidad $$(a,b)+(c,d)=\{a\}+(0,b-a)+\{c\} + (0,d-c).$$

Answer 2

En términos de conjuntos y notación de conjuntos:

$(a,b)$ = todos los puntos de R que están entre a y b exclusivamente = $\{x\in \mathbb R| a < x < y\}$

Si $A$ y $B$ son conjuntos, entonces decimos $A + B =\{x+y|x \in A; y \in B \}$ .

Así que la declaración $(a,b)+(c,d) = (a+b,c+d)$ significa que $(a,b) + (c,d)=\{x+y|a <x <b;c <y<d\}$ es lo mismo que $(a+b, c+d) = \{z|a+b <z <c+d\}$

Prueba:

1) si $z=x+y \in (a,b) + (c,d)$ Es decir, $a <x <b;c <y <d$ entonces $a+c <x+y <b+d$ así que $(a,b)+(c,d) \subset (a+c,b+d)$ . Eso fue fácil.

2) si $z \not \in (a+b,c+d)$

a) si $z \le a + c$ . Sea $x$ sea cualquier número tal que $a < x < b$ . Entonces, si $z =x+y$ para algunos $y$ se deduce que $y = z-x < a+c-a =c$ así que $z \not \in (a,b) +(c,d)$ .

b) Igualmente, si $z \ge b + d$ . Sea $y$ sea cualquier número tal que $c < y < d$ . Entonces, si $z =x+y$ para algunos $x$ se deduce que $x = z-y > b+d-d =b$ así que $z \not \in (a,b) +(c,d)$ .

Así que $z \not \in (a+b,c+d)$ implica $z \not \in (a,b)+(c,d)$ .

Así que $(a,b)+(c,d) \subset (a+b,c+d)$

1 y 2 juntos significan $(a+b,c+d)=(a,b)+(c+d)$ .

Answer 3

Que la función $f : [a,b] \times [c,d] \to \mathbb R$ se define por

$$f (x,y) := x + y$$

Podemos encontrar el mínimo y máximo de $f$ mediante la resolución de dos programas lineales, a saber

$$\begin{array}{ll} \text{minimize} & x+y\\ \text{subject to} & a \leq x \leq b\\ & c \leq y \leq d\end{array}$$

y

$$\begin{array}{ll} \text{maximize} & x+y\\ \text{subject to} & a \leq x \leq b\\ & c \leq y \leq d\end{array}$$

Desde $\nabla f (x,y) = 1_2$ concluimos que:

• el mínimo de $f$ es $a+c$ que se alcanza en $(x,y) = (a,c)$ .
• el máximo de $f$ es $b+d$ que se alcanza en $(x,y) = (b,d)$ .

Así, la adición de intervalos se define de la siguiente manera

$$[a,b] + [c,d] := [a+c,b+d]$$