¿Cuál es la motivación de los/importancia del concepto de "holomorphic'?

Question

A menudo una técnica específica término se acuñó en matemáticas porque el concepto se repite a menudo. La costumbre moderna método de presentación de Definición - Teorema de la Prueba a menudo se inicia con el descubrimiento del método de Objeto - Propiedad - Patrón, acaba de encontrar y dar nombre a las cosas es el primer paso.

En otro hilo, me encontré con el concepto de 'holomorphic'. Una respuesta a Cómo expresar en forma cerrada? me llevó a la pregunta Complejo conjugado de z sin saber z=x+iy.

Yo nunca había escuchado el término 'holomorphic' antes, pero wikipedia ayudado. Buscando en el complejo análisis de textos en línea, no pude encontrar nada en sus índices. Un montón de papeles de uso, y hay un montón de preguntas acerca de las matemáticas.SE, por lo que debe ser parte de la vida cotidiana (superior) de matemáticas. La definición incluye 'analítica' que (creo que ) significa que usted puede tomar una secuencia infinita de derivados (que significa que usted puede crear una serie de Taylor para ti)). Pero entonces no veo qué tiene de especial que (estoy seguro de que eso es obvio, pero yo no sé, de modo que se puede calcular rápidamente los valores?) y eso significa algo aún más - para funciones complejas.

Así que la pregunta aquí es...¿por qué es "holomorphic' un problema tan grande? Y es que de hecho? Si una función compleja es holomorphic puede hacer ..¿qué con ella? si no es holomorphic, ¿hay algo más que puedes hacer con él? ¿Qué temas específicos de matemáticas lidiar con ella? es simplemente básica de análisis complejo o parte de alguna rama particular? (No estoy completamente seguro de que es particular para el análisis complejo

(Mi fondo no es el análisis a todos (cs, la combinatoria, la lógica), así que yo sé básica de análisis real, pero no complejo).

Answer 1

Brevemente, holomorphic funciones son inmensamente útiles porque, por un lado, son sorprendentemente comunes (ya que cualquier potencia de la serie, por ejemplo, cuyos coeficientes crecer razonablemente lentamente define un holomorphic de la función), y por otro lado, puede resultar muy fuerte teoremas acerca de ellos. Hay una web de los resultados de Cauchy de la integral de la fórmula y la identidad teorema que afirman que holomorphic funciones son increíblemente rígido: dada la información acerca de un holomorphic función en una parte muy pequeña de su dominio, se puede extraer información acerca de la función del comportamiento de otros a priori no relacionadas partes de su dominio (y esto es lo que permite cosas como el contorno de integración para el trabajo).

Por esa razón, holomorphic funciones son una herramienta poderosa para aplicar a un problema al que se aplican. Por ejemplo, analítica de números teóricos de la frecuencia construir holomorphic o meromorphic funciones que llevan el número de la teoría de la información, tales como la de Riemann zeta función, para demostrar teoremas como el teorema de los números primos. Ya que dicen que tienen un fondo en la combinatoria, usted puede disfrutar de la lectura de Flajolet y Sedgewick de la Analítica de la Combinatoria, una minuciosa exposición de (entre otras cosas) formas de uso de análisis complejos para proporcionar asymptotics para combinatoria de las secuencias.

Aquí está un ejemplo sencillo. Deje $f_n$ denotar el número de maneras en que $n$ caballos puede ganar una carrera, con lazos. Resulta que esta secuencia tiene la generación de la función

$$F(z) = \sum_{n \ge 0} \frac{f_n}{n!} z^n = \frac{1}{2 - e^z}.$$

Esta función es meromorphic con polos en $z = \log 2 + 2 \pi i k, k \in \mathbb{Z}$, cada uno de los cuales ha residuo $-\frac{1}{2}$. De hecho, resulta que $F(z)$ admite un infinito parcial fracción de descomposición

$$F(z) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \frac{1}{2(\log 2 + 2 \pi i k - z)}.$$

Y por la expansión de los términos en el lado derecho en una serie geométrica, esto le da un asintótica de expansión para $\frac{f_n}{n!}$ con líderes plazo $\frac{1}{2 (\log 2)^{n+1}}$. En otras palabras,

$$f_n \sim \frac{n!}{2 (\log 2)^{n+1}}.$$

El polo en $z = \log 2$ domina el asintótica de expansión: el líder plazo en el error de la expresión anterior está dada por los otros polos más cercano al origen, que se producen a $z = \log 2 \pm 2 \pi i$. Debido a que estos polos tienen distinto de cero parte imaginaria, si la trama de error en la anterior aproximación usted encontrará que oscila. No es tan fácil de explicar por qué esto debería ser el caso, sin que el análisis complejo.

Un ejemplo famoso es Hardy y Ramanujan la fórmula asintótica de la función de partición

$$p(n) \sim \frac{1}{4n \sqrt{3}} e^{ \pi \sqrt{ \frac{2n}{3} } }$$

que está demostrado el uso de una forma mucho más sofisticada versión del argumento anterior.

Pero realmente, no hay mucho que decir acerca de holomorphic funciones, por lo que de nuevo le sugiero que lea un libro de texto. Además de Needham del libro, yo también personalmente disfrutado de Stein y Shakarchi, que es muy fácil de usar y tiene muy buenas aplicaciones.