Continuidad de $r\mapsto\int_{\Sigma\cap B_r(x)}f^2d\mu$

Question

Dejemos que $\Sigma$ sea una superficie lisa incrustada en $\mathbb{R}^3$ y que $f:\Sigma\to\mathbb{R}$ sea una función suave. Supongamos que $f$ es integrable al cuadrado en $\Sigma$ con \begin{align} 0<\int_{\Sigma}f^2d\mu<\infty \end{align} donde $d\mu$ es el elemento de área de $g$ la métrica inducida en $\Sigma$ de la métrica plana de $\mathbb{R}^3$ .

Denotemos la bola abierta euclidiana de radio $r>0$ con centro $x\in\mathbb{R}^3$ por $B_r(x)$ . En esta pregunta me interesa

la continuidad de la función $r\mapsto\displaystyle\int_{\Sigma\cap B_r(x)}f^2d\mu$

Al principio esto parece ser continuo para cualquier $x\in\mathbb{R}^3$ . Sin embargo, se puede encontrar un contraejemplo sencillo: Si $\Sigma$ es una esfera redonda de radio $R>0$ con centro $0\in\mathbb{R}^3$ entonces \begin{align} \Sigma\cap B_r(0)=\left\{ \begin{array}{ccl} \emptyset & \text{if} & r\leq R \\ \Sigma & \text{if} & r>R \end{array} \derecha. \Fin y así tenemos una discontinuidad en $r=R$ . En general, siempre que $\Sigma$ tiene una región que es un casquete esférico, también tenemos esa discontinuidad para algunos $x$ .

Sin embargo, en el contraejemplo anterior, parece que la continuidad sólo falla para una única elección de $x$ . Además, en la discontinuidad $r=R$ seguimos teniendo una continuidad a la izquierda. Me pregunto si esto es cierto en general:

¿Es cierto que $r\mapsto\displaystyle\int_{\Sigma\cap B_r(x)}f^2d\mu$ es continua (o al menos continua a la izquierda) para casi todos $x\in\mathbb{R}^3$ ?

Si la respuesta es afirmativa, ¿cómo debemos demostrarlo? Y si no, ¿qué contraejemplo podemos construir? Además, me gustaría saber cuál es el mejor resultado que podemos obtener en este sentido.

Cualquier comentario o respuesta es bienvenido y apreciado.

Answer 1

La función $\lambda:A\mapsto\int_{\Sigma}{\mathbf 1}_{A}f^2\mathrm d\mu$ es una medida sobre los conjuntos de Borel de $\mathbb R^3$ , para ${\mathbf 1}_A$ la función indicadora de $A$ . La cantidad que le interesa es $r\mapsto\lambda(B_r(x))$ .

Podemos utilizar el teorema de convergencia monótona para ver que $$ \lim_{r\uparrow r_0}\lambda(B_r(X)) = \lambda(B_{r_0}(x)), $$ por lo que la continuidad de la izquierda es verdadera para cada $x$ . Utilizando el teorema de convergencia dominada de Lebesgue, vemos que de hecho $$ \lim_{r\downarrow r_0}\lambda(B_r(X)) = \lambda\big({\overline B}_{r_0}(x)\big) $$ donde ${\overline B}$ denota la bola cerrada, por lo que la continuidad se mantiene en $r_0$ por el hecho de ser fijo $x$ siempre que $\lambda(\partial B_{r_0}(x))=0$ .

Demostraré que sólo un número contable de $(x,r)$ puede ser tal que $\lambda(\partial B_{r}(x))\neq0$ en particular su función será continua en $\mathbb R_+$ para todos los casos, excepto para un número contable de ellos $x$ . Asumo que la superficie está cerrada, pero no es una hipótesis necesaria, como discuto al final.

Arreglar $\varepsilon,R>0$ y que $S = S_{\varepsilon,R}$ sea el conjunto de pares $(x,r)$ tal que ${\overline B}_r(x)\subset B_R(0)$ y $\Sigma\cap\partial B_{r}(x)$ tiene una superficie mayor que $\varepsilon$ (visto como un subconjunto de $\Sigma$ ). Para una colección finita ${(x_i,r_i)}_{0<i\leq k}$ de elementos de $S$ la suma de las áreas de $\Sigma\cap\partial B_{r_i}(x_i)$ (que es al menos $k\varepsilon$ ) es el área de $\Sigma\cap\bigcup_i\partial B_{r_i}(x_i)$ porque la intersección de dos esferas distintas es un círculo, un punto o un vacío, por lo que tiene medida cero. En particular, la suma es menor que el área de ${\overline B}_R(0)\cap\Sigma$ que es finito (porque la superficie es cerrada). Esto significa que $S_{\varepsilon,R}$ es, de hecho, finito.

Esto concluye fácilmente: si $(x,r)$ es un punto tal que $\lambda(\partial B_r(x))\neq0$ entonces pertenece a $\bigcup_{n\geq1}S_{1/n,n}$ que es contable como una unión contable de conjuntos finitos.

Si $\Sigma$ no es una superficie cerrada (imagino que esto significa que no está incrustada, por lo que va más allá de tu pregunta), se puede, en la definición de $S_{\varepsilon,n}$ , reemplazar $\partial B_n(0)\cap\Sigma$ por una colección contable de subconjuntos compactos $K_n$ de $\Sigma$ cuyos interiores aumentan hasta $\Sigma$ . Entonces, si $(x,r)$ es un punto tal que el área de $\partial B_r(x)\cap\Sigma$ es mayor que $\varepsilon$ por regularidad interna existe un subconjunto compacto $K\subset\Sigma\cap\partial B_r(x)$ con un área mayor que $\varepsilon$ también. Este compacto está incluido en uno de los interiores del $K_n$ Así que $(x,r)$ pertenece a la correspondiente $S_{\varepsilon,n}$ .