Verificar la convergencia de la integral impropia

Question

Dejemos que $f: (0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ , donde $f(x) = \int_{0}^{1} \frac{t^x-1}{\log{t}}dt$ . Quiero comprobar si esta integral impropia es convergente o no (cuando $t>0$ ), y he probado diferentes medidas, pero no he encontrado nada que funcione. Por ejemplo, he intentado encontrar $g: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $\lvert f(x,t) \leq g(t) \rvert, \forall x \in (0,\infty)$ y $\int_0^1 g(t)dt \lt \infty$ utilizando $\lvert \log(t) \rvert \leq t$ pero esto tampoco parece funcionar. ¿Alguna idea?

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$0< \frac{t^x-1}{\log(t)} < x$$

para $x>0$ y $0<t<1$ . Así que

$$f(x)\leq x\int_0^1 dt=x\ .$$