Demuestra que $\int_{0}^{\pi\over 2}\tan{x}\cdot{a+\cos{(x)}\cdot\ln{(\tan{x})}\over 1+\tan{x}}\mathrm dx={a\pi\over 4}$

Question

¿Puede algún usuario mostrarme cómo integrar $(1)?$

$$\int_{0}^{\pi\over 2}\tan{x}\cdot{a+\cos{(x)}\cdot\ln{(\tan{x})}\over 1+\tan{x}}\mathrm dx={a\pi\over 4}\tag1$$

$$I_1+I_{2}=\int_{0}^{\pi\over 2}{a\tan{x}\over 1+\tan{x}}\mathrm dx+\int_{0}^{\pi\over 2}{\cos{(x)}\cdot\ln{(\tan{x})}\over 1+\tan{x}}\mathrm dx={a\pi\over 4}\tag2$$

$$I_1=a\int_{0}^{\pi\over2}{\sin{x}\over \sin{x}+\cos{x}}\mathrm dx\tag3$$

$$I_1=a\int_{0}^{\pi\over2}{\sin{x}\cos{x}-\sin^2{x}\over \cos{2x}}\mathrm dx\tag4$$

No estoy seguro de qué hacer a continuación.

Answer 1

Dejemos que $$A=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\, \mathrm{d}x\, \, \, \, \, \, \mathrm{and}\, \, \, \, \, \, B=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}\, \mathrm{d}x$$ y $$A+B=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}1\, \mathrm{d}x$$ $$A-B=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}\, \mathrm{d}x$$ Por lo tanto, es fácil ver que $$A=\frac{1}{2}\left [ \left ( A+B \right )+\left ( A-B \right ) \right ]=\frac{\pi }{4}$$ Así que, como dijo Cansado, $$I_1=\frac{a\pi }{4}$$

Para $I_2$ , debe ser $$\int_{0}^{\pi\over 2}{\sin{(x)}\cdot\ln{(\tan{x})}\over 1+\tan{x}}\, \mathrm dx$$ dejar $x\rightarrow \dfrac{\pi }{2}-x$ Tengo $$I_2=-I_2$$ por lo que $$I_2=0$$ Ahora la respuesta vendrá.