La fuerte continuidad de $t\mapsto T(t)$ de la derecha implica la acotación de la norma del operador uniforme de $T(t)$ cerca de $0$ por el principio de acotación uniforme. Esto se puede utilizar para demostrar que $T(t)$ también es fuertemente continua por la izquierda en cualquier $t > 0$ escribiendo $$ T(t)x-T(t-h)x=T(t-h)\{T(t+h)x-T(t)x\}, $$ y utilizando la acotación de la norma del operador uniforme de $T(t-h)$ para $h$ cerca de $0$ .
El dominio de $A$ se compone de todos los $x\in X$ tal que $t\mapsto T(t)x$ tiene una derivada derecha en $0$ y esa derivada derecha es $Ax$ . Supongamos que $x\in\mathcal{D}(A)$ . Entonces, para pequeños positivos $h$ , \begin{align} &\frac{1}{h}\{T(t)x-T(t-h)x\}-T(t)Ax \\ =& T(t-h)\frac{1}{h}\{T(h)x-x\}-T(t)Ax \\ =& T(t-h)\left[\frac{1}{h}\{T(h)x-x\}-Ax\right] \\ &+\{T(t-h)-T(t)\}Ax. \end{align} El primer término de la extrema derecha tiende a $0$ porque $T(t-h)$ está uniformemente acotado para todo $h > 0$ cerca de $0$ y el término entre corchetes tiende fuertemente a $0$ como $h\downarrow 0$ . El segundo término de la extrema derecha tiende a $0$ por la fuerte continuidad a la izquierda de $T$ . Por lo tanto, la derivada izquierda de $T(t)x$ existe para todos los $t > 0$ y $x\in\mathcal{D}(A)$ y la derivada de la izquierda es igual a la derivada de la derecha, dando el límite de dos lados $$ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\{T(t+h)-T(t)x\}=Ax,\;\; t > 0. $$
