¿Notación matricial de los vectores?

Question

Mi libro de álgebra lineal dice que un vector es una matriz de una columna. Sin embargo, en el contexto de lo que estamos estudiando (ecuaciones lineales) tendría más sentido que un vector tuviera la forma de la matriz aumentada:

$$ \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & x \\ 0 & 1 & 0 & y \\ 0 & 0 & 1 & z \end{matrix} \right) $$

Esto tiene más sentido para mí, ya que un vector se representa normalmente como una ordenada $n-tuple$ y en el ejemplo que he dado anteriormente está claro que la matriz representa la triple ordenada $(x, y, z)$ . ¿Es lo anterior la representación formalmente correcta de un vector, pero por simplicidad un vector se representa simplemente como una matriz de columnas?

Answer 1

Un vector es simplemente un elemento de un espacio vectorial. Está pensando en vectores en $\mathbb{R}^3$ en términos de sus coordenadas a lo largo de la base canónica $\{e_1,e_2,e_3\}$ . Desde un punto de vista muy formal, dicho vector debería escribirse como una fila, ya que representa un covector. Sin embargo, lo que es $(1,2,3)$ ? ¿Es un vector en el espacio vectorial $\mathbb{R}^3$ o el covector que representa un vector único a lo largo de la base canónica?

Tu notación es redundante y en realidad inútil, ya que la "matriz de identidad" se escribiría en todas partes sin ninguna buena razón para hacerlo.

Answer 2

Se pueden ver los vectores columna como $n\times 1$ matrices $$ u = \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) $$ y los vectores fila como $1\times n$ matrices. $$ u^T = \left( \begin{matrix} x & y & z \end{matrix} \right) $$ No hay problema.

Podrías mapear tus vectores uno a uno a tu estructura dada, efectivamente actúa como matriz $(E|u)$ para la matriz de identidad $E$ y su vector $u$ debido a la regla de la multiplicación de matrices de bloques pero no veo el beneficio de esos componentes adicionales. Es una representación correcta de un vector, pero no una representación mínima. Así que yo no lo utilizaría.

En otros contextos, esta extensión podría tener sentido, por ejemplo, en los gráficos por ordenador:

Lo que ha proporcionado recuerda un poco a un matriz de traducción para los vectores que utilizan coordenadas homogéneas: $$ T = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & x \\ 0 & 1 & 0 & y \\ 0 & 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) $$ Las coordenadas homogéneas tienen una cuarta dimensión, que está (la mayoría de las veces) normalizada a $1$ pero sirven para ampliar las matrices de transformación a $4\times 4$ matrices. Su ventaja es que permiten modelar las transformaciones importantes, incluso las mencionadas traslaciones, como operaciones matriciales. Una transformación combinada puede obtenerse mediante la multiplicación de matrices.