Esta pregunta está relacionada con Expectativa de Sinc de la distribución normal
Quiero calcular
$$\mathbb{E} \left[ \frac{\sin(Y_1) \sin(Y_2)}{Y_1Y_2} \right]$$
donde $(Y_1, Y_2)$ se distribuye normalmente de forma multivariada con un vector de media cero y $\operatorname{Var}(Y_1)=\operatorname{Var}(Y_2) = 1$ y $\operatorname{Cov}(Y_1, Y_2) = \rho$ .
He intentado abordar este problema como en el caso univariante, es decir, simplificar $\frac{\sin(Y_1)}{Y_1}$ utilizando la expansión de Taylor de $\sin$ calculando el producto de Cauchy de las dos series resultantes y luego introduciendo la expectativa en la suma, lo que me da
$$ \mathbb{E} \left[ \frac{\sin(Y_1) \sin(Y_2)}{Y_1Y_2} \right] = \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{(2k+1)!(2(n-k)+1)!} \mathbb{E}[Y_1^{2k}Y_2^{2(n-k)}]. $$
Sin embargo, no estoy seguro de cómo calcular los momentos mixtos. Ya he investigado un poco y he encontrado el papel que parece aplicarse a este caso particular, pero desafortunadamente la fórmula dada en ese documento no es realmente fácil de evaluar dado que los exponentes dependen de $k$ y $n$ .
Así que me pregunto si alguien tiene una idea de cómo ir a este problema en su lugar. Ya he intentado utilizar coordenadas polares para el cálculo de $\int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}} \frac{\sin(x) \sin(y)}{xy} f(x,y) \,dx\,dy$ donde $f$ es la densidad de $(Y_1, Y_2)$ pero eso tampoco me llevó a ninguna parte.
EDIT: En respuesta a la respuesta de Metamorfosis:
Pude calcular $$ \frac{1}{4} \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} \exp \Big\{ -\frac{1}{2} (t_1^2+t_2^2-2\rho t_1 t_2) \Big\}\ dt_1\ dt_2 \\ = \frac{1}{4} \int_{-1}^{1} \sqrt{2 \pi} \exp \Big\{ \frac{1}{2} (1-\rho^2)t_2^2 \Big\} \ \big[\Phi(1-\rho t_2) - \Phi(-1 - \rho t_2)\big] \ dt_2$$ donde $\Phi$ es la fdc de una distribución normalizada reescribiendo la función dependiente de $t_1$ como una densidad de una distribución normalizada. Sin embargo, no estoy seguro de cómo tratar con la cdf normalizada dentro de la segunda integral. Intenté reescribir la integral restante de forma que se asemejara a una de las integrales de funciones gaussianas sobre Wikipedia pero no tuve éxito en hacerlo.
