Problemas sobre la estimación del número de desempate

Question

Para la definición de Número de desanudación, se puede evaluar http://www.popmath.org.uk/exhib/pagesexhib/unknum.html

Mi pregunta es:

Para un nudo dado K, sea n el número de cruce de K, ¿hay alguna estimación del número de desanudación de K? Por supuesto, el número de desanudado es menor que n-1, pero ¿existe alguna estimación no trivial?

Supongo que el número de desanudación puede ser menor que $[\frac{n}{2}]$ . Partiendo del hecho de que el número de desanudación del nudo toro no es mayor que $[\frac{n}{2}]$ . Creo que el nudo toroidal podría "apretar" de la manera más "feroz".

Answer 1

Tu intuición es correcta: asintóticamente, los nudos del toro tienen un número de desanudación aproximadamente la mitad del número de cruce. El número de cruce de un $(p,q)$ nudo toroidal $T_{p,q}$ es $c(T_{p,q})=\min\{(p-1)q,(q-1)p\}$ mientras que el el número de desanudación es $u(T_{p,q})=(p-1)(q-1)/2$ (esto se deduce del hecho de que el género de la bola 4 da un límite inferior al número de desanudación, y la solución a la Conjetura de Milnor de Kronheimer-Mrowka). Así que, asintóticamente, la relación $u(T_{p,q})/c(T_{p,q}) \to \frac12$ , como $p,q \to \infty$ , realizando la máxima relación posible.