límite de $x_1 \to x_0$, propagador para el oscilador armónico

Question

Considere la posibilidad de un no-relativista de la partícula de masa $m$, moviéndose a lo largo de la $x$-eje en una potencial $V(x) = m\omega^2x^2/2$. usar la ruta integral de los métodos para hallar la probabilidad de encontrar la partícula entre $x_1$ $x_1 + dx_1$ si la partícula se en $x_0$ tiempo $t = 0$.

Uno encuentra el propagador a ser $$P(x_1, t_1; x_0, 0) = \sqrt{{{m\omega}\over{2\pi i\hbar \sin \omega t_1}}}e^{{{im\omega}\over{2\hbar \sin\omega t_1}}((x_0^2 + x_1^2)\cos\omega t_1 - 2x_0x_1)}$$and the requisite probability to be $$\left|\int P(x_1, t_1; x_0, 0)\psi(x_1)\,dx_1\right|^2$$for some wavepacket $\psi$ localized between $x_1$, $x_1 + dx_1$. In the limit $x_1 \a x_0$, we have$$\lim_{(x_1 - x_0) \to 0} P(x_1, t_1; x_0, 0) = \sqrt{{m\omega}\over{2\pi i\hbar \sin\omega T}}e^{{{im\omega}\over{\hbar\sin\omega T}}(x_0^2\cos\omega T - x_0^2)}.$$My question is, what is the physical significance of taking this limit $x_1 \a x_0$?

Answer 1

La densidad de probabilidad $$\lim_{x_1\to x_0} P(x_1, t_1; x_0, 0)$$ is basically the probability density for a particle at position $x_0$ to be back at that position after a time $t_1$ ha pasado.

Answer 2

Como $T = t_1 - t_0 \to 0$, tenemos$$\lim_{t_1 - t_0 \to 0} \langle x_1, t_1\,|\,x_0, t_0\rangle = \lim_{T \to 0}\left({{m\omega}\over{2\pi i\sin\omega T}}\right)^{1/2}\text{exp}\left[{{im\omega}\over{2\sin\omega T}}\left(\left(x_1^2 + x_0^2\right)\cos \omega T - 2x_0x_1\right)\right]$$$$=\lim_{\epsilon = /m \0} {1\over{\sqrt{2\pi\epsilon}}}\text{exp}\left[-{{(x_1 - x_0)^2}\over{2\epsilon}}\right] = \delta(x_1 - x_0).$$This is just as expected from the orthonormality of $\hat{x}(t)$ eigenvalues at $t = t_0$.

Answer 3

Ideológicamente hablando, el valor absoluto de la propagador cuadrado

$$\tag{1} |K(x_f,t_f;x_i,t_i)|^2 \mathrm{d}x_f ~=~ \frac{m\omega}{2\pi\hbar\sin\omega \Delta t}\mathrm{d}x_f, \qquad \Delta t~:=~t_f-t_i,$$

es la probabilidad de que un oscilador armónico de partida en $t_i$ en la posición $x_i$ va a terminar en la posición del intervalo de $[x_f,x_f+\mathrm{d}x_f]$ tiempo $t_f$.

En particular OP se puede estudiar el caso de $x_i=x_f$, es decir, la probabilidad de volver a la misma posición en un momento dado,$\Delta t$.

Curiosamente, según la eq. (1), la probabilidad no depende de las posiciones $x_i$ $x_f$ a todos! Esto es porque la noción de absoluto las probabilidades de que el kernel de Feynman $K(x_f,t_f;x_i,t_i)$ no puede ser mantenido en una no-compacto de la posición del espacio, cf. por ejemplo, Ref. 1 y esta Phys.SE post.

En general, la interpretación probabilística de la de eq. (1) sólo se mantiene durante períodos cortos de tiempo $\Delta t\ll \tau$ donde $\tau$ es alguna característica escala de tiempo del sistema.

Referencias:

1. R. P. Feynman y A. R. Hibbs, la Mecánica Cuántica y la Ruta de acceso Integrales, 1965.