Geometría algebraica real vs. geometría algebraica

Question

Esta pregunta se basa en mi entendimiento de que la geometría algebraica real (en adelante RAG) es la versión de la geometría algebraica (AG) que se obtiene cuando se sustituyen los campos (especialmente cerrados algebraicamente) por campos formalmente reales (especialmente cerrados). Esto hace que haya diferencias sustanciales en la teoría porque tales campos pueden ser ordenados, y con el orden viene la noción de un conjunto semialgebraico y una topología más fuerte.

Soy consciente de que existe una noción de "espectro real" análoga al espectro tradicional de un anillo conmutativo, aunque no estoy muy familiarizado con ninguno de los dos. Supongo que esto permite pegar cosas y definir "esquemas reales" o algo así. O si no, asumo que la razón por la que esto no funciona es algo que uno aprendería en el estudio del RAG.

Mi pregunta: Dadas las diferencias en las teorías, ¿hasta qué punto es necesario entender el GA "tradicional" para estudiar el GAR? ¿Existen referencias (preferiblemente libros) que introduzcan la RAG a un nivel abstracto sin asumir mucho conocimiento de AG? ¿O es pedir esto como cuando la gente pregunta cómo puede aprender sobre los motivos sin saber primero sobre AG?

Ya tengo el de Basu, Pollack y Roy Algoritmos en geometría algebraica real pero estoy buscando algo menos algorítmico.

Answer 1

La geometría algebraica real tiene su propio conjunto de métodos. Aunque tener en cuenta la imagen compleja es a veces útil (por ejemplo, para cualquier variedad algebraica real X la desigualdad de Smith-Thom afirma que $b(X(\mathbb{R})) \leq b(X(\mathbb{C}))$ , donde $b(\cdot)$ denota la suma de los números de Betti topológicos con coeficientes mod 2), la mayoría de la técnica utilizada se construye desde cero o se toma prestada de otras áreas, como la teoría de la singularidad o la teoría de modelos.

La bibliografía es mucho más reducida para el GAR que para el GA tradicional; la referencia básica es el libro de Bochnak, Coste y Roy (preferiblemente la edición en inglés, que es más reciente en más de 10 años, y ha sido muy ampliada). El libro cubre en particular el espectro real, el principio de transferencia (que hace que los métodos no estándar sean realmente fáciles), las estratificaciones y los colectores de Nash, entre otros temas. Michel Coste también tiene Introducción a la geometría semialgebraica disponible en su página web un tratamiento muy breve de algunos resultados básicos, suficiente para darle una primera impresión.

Otros libros interesantes suelen ser más breves y centrados que BCR, ya que tratan un aspecto específico; por ejemplo, el libro de Prestel Polinomios positivos. (que trata sobre todo de resultados como el teorema de Schmudgen), y Andradas-Brocker-Ruiz Conjuntos construibles en geometría real (que trata sobre todo del número mínimo de desigualdades necesarias para definir conjuntos básicos). El libro de Benedetti y Risler es muy interesante y concreto; encontré algunos pasajes muy útiles y algunos resultados son difíciles de encontrar en otros libros (las secciones sobre la complejidad aditiva de los polinomios son muy completas), pero es un poco disperso para mi gusto.

Como su nombre indica, el libro de Basu Pollack y Roy se centra por completo en los aspectos algorítmicos. Es un libro muy bueno, y todavía puede recoger algo de la teoría allí, pero no suena como lo que está buscando en este momento.

En cuanto a la o-minimalidad, también en este caso la página web de Michel Coste contiene una introducción que complementa muy bien el libro de van den Dries. Yo dudaría en agrupar la o-minimalidad con la geometría algebraica real. En algunos aspectos, los dos dominios son sin duda primos cercanos, y la o-minimalidad puede verse como una amplia generalización de las estructuras algebraicas reales; por otro lado, cada disciplina tiene también sus propios aspectos y problemas que no se trasladan tan bien a la otra.

Estoy siendo verboso como siempre. Aun así, espero que sirva de ayuda.

Answer 2

También hay Anillos parcialmente ordenados y geometría semialgebraica por Brumfiel y Conjuntos reales algebraicos y semialgebraicos por Benedetti y Risler.

Answer 3

Para una introducción fácil a la RAG, se puede leer el libro de van den Dries "Tame topology and o-minimal structures": trata la noción más general de estructuras o-minimales en lugar de campos reales cerrados, y no utiliza ninguna herramienta de AG.

Answer 4

Cuando estudié por primera vez geometría algebraica real. me preocupaba más el álgebra (probablemente incluso ahora). Al igual que la geometría algebraica clásica, en la que los estudiantes aprenden primero álgebra conmutativa antes de hacer geometría algebraica, yo aprendí primero álgebra real (sin la geometría). El álgebra real por sí sola es un gran campo y cuando empecé con la geometría algebraica real ya era un poco tarde (así que prácticamente sólo hice álgebra real durante mis años de doctorado). Sin embargo, si quieres obtener los fundamentos del álgebra real (antes de hacer geometría real algebraica y analítica) y si sabes algo de alemán, te recomiendo el libro de Knebusch y Scheiderer, también disponible de forma gratuita aquí . Aprenderá más sobre valoraciones convexas, preordenamientos, ordenamientos parciales, campos reales cerrados, conos, el teorema de Artin Schreier, los espectros reales, la topología de Harrison y la topología construible, de lo que aprendería en un típico libro de álgebra conmutativa. Si no sabes nada de alemán, por supuesto que puedes leer BCR (Bochnak, Coste y Roy). Mi tesis doctoral tiene una sección de preliminares que cubre algunos aspectos básicos que necesitarías revisar. También podría recomendar a Brumfiel Anillos parcialmente ordenados y geometría semialgebraica (que a veces me parece más útil que BCR).. y por supuesto no se puede olvidar el material introductorio escrito por T.Y.Lam Introducción al álgebra real (Rocky Mountain Journal of Mathematics, 1984, Vol.14, No.4, p.767-814).

Answer 5

El libro Variedades algebraicas reales de Frederic Mangolte, merece la pena comprobarlo. Desarrolla la geometría algebraica "tradicional" teniendo siempre en cuenta la existencia de $\mathbb{R}$ .

En la introducción comenta los libros estándar del campo, como Bochnak, Coste y Roy, y habla de la fenomenología de la algebraicidad real. Para mí fue muy clarificador.

No habla de la parte semialgebraica y menciona el libro Introducción a la geometría semialgebraica de Michel Coste que es de libre acceso .