factorizar $x^5+ax^3+bx^2+cx+d$ si $d^2+cb^2=abd$

Question

Quiero factorizar $x^5+ax^3+bx^2+cx+d$ si $d^2+cb^2=abd$ pero no se como usar la segunda igualdad.he intentado mucho pero no puedo saber como usarla por ejemplo es $d^2$ pero tenemos $d$ y si calculamos $d$ usando esa igualdad sería más difícil. ¿Alguna pista?

Answer 1

Sustituyendo $c=(abd-d^2)/b^2$ obtenemos la factorización $$ x^5+ax^3+bx^2+cx+d=\frac{(abx + b^2 + bx^3 - dx)(bx^2 + d)}{b^2}. $$ Esta es la forma en que yo utilizaría la segunda igualdad.