¿Por qué es $\sum\limits_{i=0}^{n}(r-1)^{n-i}{n\choose i} = r^n$ ?

Question

Estaba resolviendo un problema y encontré que $\sum\limits_{i=0}^{n}2^{n-i}{n\choose i} = 3^n$ . Así que traté de generalizarlo y obtuve $\sum\limits_{i=0}^{n}(r-1)^{n-i}{n\choose i} = r^n$ . ¿Es cierto para $r > 1, r \in \mathbb{Z}$ ?

Answer 1

Sí, es cierto. Tenga en cuenta que $$r^n=\{(r-1)+1\}^n=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}\cdot (r-1)^{n-i}\cdot 1^i.$$

Answer 2

Considere la posibilidad de contar $r$ -partidas de conjuntos $(A_1,\dots,A_r)$ tal que $A_1 \subseteq \dots \subseteq A_r$ . El número de estos es claramente $r^n$ ya que podemos verlo como la elección de cuál de los conjuntos $A_1, A_2 \setminus A_1, \dots, A_r \setminus A_{r-1}, [n]\setminus A_r$ cada elemento de $[n]$ pertenece a. El lado izquierdo está condicionado a qué conjunto inferior tomamos (es decir, qué $A_1$ es).

Answer 3

http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem

$$(x+y)^n = \sum_{i=0}^n {{n}\choose{i}}x^iy^{n-i}$$